Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A (2;0; - 1), B( - 1; - 6;7) và mặt phẳng (P):x - y + z - 3 = 0. Xét

18/22

Trong không gian \[{\rm{Oxyz}}\] , cho hai điểm \[{\rm{A}}\left( {{\rm{2;0; - 1}}} \right)\], \[B\left( {{\rm{ - 1; - 6;7}}} \right)\] và mặt phẳng\[\left( P \right):x - y + z - 3 = 0\]. Xét điểm \[{\rm{M}}\] thuộc mặt phẳng \[\left( P \right)\]. Tìm giá trị nhỏ nhất của \[2M{A^2} + M{B^2}\].

Giải thích

Đáp án: 63.

Xét điểm \[{\rm{K}}\]:

\[2M{A^2} + M{B^2} = 2{\overrightarrow {MA} ^2} + {\overrightarrow {MB} ^2} = 2{\left( {\overrightarrow {MK} + \overrightarrow {KA} } \right)^2} + {\left( {\overrightarrow {MK} + \overrightarrow {KB} } \right)^2} = 3M{K^2} + 2K{A^2} + K{B^2} + \overrightarrow {MK} .\left( {2\overrightarrow {KA} + \overrightarrow {KB} } \right)\]

Chọn điểm \[{\rm{K}}\] thoả mãn \[2\overrightarrow {KA} + \overrightarrow {KB} = \overrightarrow 0 \] , gọi \[{\rm{K}}\left( {{\rm{x;y;z}}} \right)\]. Khi đó

\[\left\{ \begin{array}{l}2\left( {2 - x} \right) + \left( { - 1 - x} \right) = 0\\2\left( {0 - y} \right) + \left( { - 6 - y} \right) = 0\\2\left( {1 - z} \right) + \left( {7 - z} \right) = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = - 2\\z = 3\end{array} \right. \Rightarrow K\left( {1; - 2;3} \right)\]

Khi đó\[2M{A^2} + M{B^2} = 3M{K^2} + 2K{A^2} + K{B^2}\] nhỏ nhất khi \[{\rm{M}}\] là hình chiếu của \[{\rm{K}}\] trên mặt phẳng \[\left( P \right)\]. \[{\rm{MK = d}}\left( {{\rm{K,}}\left( P \right)} \right) = \sqrt 3 \].,\[{\rm{M}}{{\rm{K}}^{\rm{2}}}{\rm{ = 3, K}}{{\rm{A}}^{\rm{2}}} = 9,{\rm{K}}{{\rm{B}}^{\rm{2}}} = 36.\] Suy ra giá trị nhỏ nhất cần tìm là \[{\rm{63}}\].