Trong không gian Oxyz ,cho hai điểm A ( 1 ; − 3 ; − 4 ) , B ( − 2 ; 1 ; 2 ) . Xét hai điểm M và N thay đổi thuộc mặt phẳng ( Oxy ) sao cho MN = 2 . Giá trị lớn nhất của | AM − BN |

89/97

Trong không gian $Oxyz$,cho hai điểm $A\left( {1; - 3; - 4} \right),B\left( { - 2;1;2} \right)$. Xét hai điểm $M$ và $N$ thay đổi thuộc mặt phẳng $\left( {Oxy} \right)$ sao cho $MN = 2$. Giá trị lớn nhất của $\left| {AM - BN} \right|$ bằng

$3\sqrt 5 $.

$\sqrt {61} $.

$\sqrt {13} $.

$\sqrt {53} $.

Giải thích

Giải chi tiết

Vì ${z_A} \cdot {z_B} < 0$ nên $A,{\rm{B}}$ nằm khác phía so với mặt phẳng ( $Oxy$ ).
Gọi $H,K$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của $A,B$ lên mặt phẳng ( $Oxy$ )
$ \Rightarrow H\left( {1; - 3;0} \right),K\left( { - 2;1;0} \right)$.

$Từ gt suy ra \(AD = 2AB = 2 (ảnh 1)$

Gọi ${A_1}$ là điểm đối xứng của $A$ qua $\left( {Oxy} \right) \Rightarrow {A_1}\left( {1; - 3;4} \right)$.
Gọi ${A_2}$ thỏa $\overrightarrow {{A_1}{A_2}} = \overrightarrow {MN} \Rightarrow {A_1}{A_2} = 2$
$ \Rightarrow {A_2} \in $ đường tròn ( $C$ ) nằm trong mặt phẳng song song với ( $Oxy$ ) và có tâm ${A_1}$, bán kính $R = 2$.
Khi đó: $\left| {AM - BN} \right| = \left| {{A_1}M - BN} \right| = \left| {{A_2}N - BN} \right| \le {A_2}B$
Dấu xảy ra và ${A_2}B$ đạt giá trị lớn nhất $ \Leftrightarrow \overrightarrow {{A_1}{A_2}} $ ngược hướng với $\overrightarrow {HK} $.
$ \Rightarrow \overrightarrow {{A_1}{A_2}} = - \frac{{\left| {\overrightarrow {{A_1}{A_2}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {HK} } \right|}}\overrightarrow {HK} = \left( {\frac{6}{5}; - \frac{8}{5};0} \right) \Rightarrow {A_2}\left( {\frac{{11}}{5}; - \frac{{23}}{5};4} \right) \Rightarrow {A_2}B = \sqrt {53} $.
Vậy giá trị lớn nhất của $\left| {AM - BN} \right|$ bằng $\sqrt {53} $.

Đáp án cần chọn là: D