Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A ( 1 ; − 3 ; 2 ) và B ( − 2 ; 1 ; − 4 ) . Xét hai điểm M và N thay đổi thuộc mặt phẳng ( Oxy ) sao cho MN = 4 . Giá trị lớn nhất của | AM − B

21/50

Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $A\left( {1; - 3;2} \right)$ và $B\left( { - 2;1; - 4} \right)$. Xét hai điểm $M$ và $N$ thay đổi thuộc mặt phẳng $\left( {Oxy} \right)$ sao cho $MN = 4$. Giá trị lớn nhất của \[\left| {AM - BN} \right|\] bằng

$5\sqrt 2 $.

$3\sqrt {13} $.

$\sqrt {61} $.

$\sqrt {85} $.

Giải thích

$Đáp án cần nhập là: $2$. (ảnh 1)$

Dễ thấy hai điểm $A,B$ nằm khác phía so với mặt phẳng $\left( {Oxy} \right)$.

Gọi ${A_1}$ là điểm đối xứng của $A$ qua mặt phẳng $\left( {Oxy} \right)$ suy ra ${A_1}\left( {1; - 3; - 2} \right)$.

Gọi mặt phẳng $\left( P \right)$ chứa ${A_1}$ và song song mặt phẳng $\left( {Oxy} \right)$ suy ra $\left( P \right):z = - 2$.

Ta gọi ${A_2}:$$\overrightarrow {{A_1}{A_2}} = \overrightarrow {MN} $ và gọi $K$ là hình chiếu của $B$ lên $\left( P \right)$

$ \Rightarrow K\left( { - 2;1; - 2} \right) \Rightarrow BK = 2,K{A_1} = 5$.

Khi đó: $\left| {AM - BN} \right| = \left| {{A_2}N - BN} \right| \le {A_2}B \le \sqrt {B{K^2} + {{\left( {K{A_1} + 4} \right)}^2}} = \sqrt {85} $.

Suy ra giá trị lớn nhất của $\left| {AM - BN} \right|$ bằng $\sqrt {85} $, dấu bằng xảy ra khi $N = {A_2}B \cap \left( {Oxy} \right)$. Chọn D.