Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A ( 1 ; − 3 ; 2 ) và B ( − 2 ; 1 ; − 3 ) . Xét hai điểm M và N thay đổi thuộc mặt phẳng ( Oxy ) sao cho MN = 1 . Giá trị lớn nhất của | AM − B

37/50

Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $A\left( {1; - 3;2} \right)$ và $B\left( { - 2;1; - 3} \right)$. Xét hai điểm $M$ và $N$ thay đổi thuộc mặt phẳng $\left( {Oxy} \right)$ sao cho $MN = 1$. Giá trị lớn nhất của $\left| {AM - BN} \right|$ bằng:

\[\sqrt {17} \].

\[\sqrt {41} \].

\[\sqrt {37} \].

\[\sqrt {61} \].

Giải thích

Ta thấy $A,B$ nằm khác phía đối với mặt phẳng $\left( {Oxy} \right)$. Gọi $\left( P \right)$ là mặt phẳng đi qua $A\left( {1; - 3;2} \right)$ và song song với $\left( {Oxy} \right)$ nên $\left( P \right):z = 2$.

Gọi $H$ là hình chiếu của $B$ lên $\left( P \right)$$ \Rightarrow H\left( { - 2;1;2} \right)$.

Gọi $K$ thuộc mặt phẳng $\left( P \right)$ là điểm sao cho $AMNK$ là hình bình hành.

$Gọi phương trình mặt cầu \(\l (ảnh 1)$

Gọi $B'$ là điểm đối xứng của $B$ qua $\left( {Oxy} \right)$ $ \Rightarrow B'\left( { - 2;1;3} \right)$.

Ta có: $\left| {AM - BN} \right| = \left| {AM - B'N} \right| = \left| {KN - B'N} \right| \le KB'$ $\left( 1 \right)$.

Mà $KB' = \sqrt {B'{H^2} + H{K^2}} \le \sqrt {B'{H^2} + {{\left( {HA + AK} \right)}^2}} $ $\left( 2 \right)$.

Ta có: $B'H = \sqrt {{0^2} + {0^2} + {1^2}} = 1$, $HA = \sqrt {{3^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2} + {0^2}} = 5$, $AK = MN = 1$ (vì $AMNK$ là hình bình hành).

Theo $\left( 1 \right)$ và $\left( 2 \right)$ ta có: $\left| {AM - BN} \right| \le KB' \le \sqrt {{1^2} + {{\left( {5 + 1} \right)}^2}} = \sqrt {37} $.

Vậy giá trị lớn nhất của $\left| {AM - BN} \right|$ là $\sqrt {37} $. Chọn C.