Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(1; 3; 1), B(1; −2; 3). Biết điểm M(x; 0; z) thuộc mặt phẳng tọa độ (Oxz) sao cho MA + MB ngắn nhất. Tính giá trị của biểu thức P = 3z – x2.

Ta có 2 điểm A, B nằm khác phía với mặt phẳng (Oxz).

Khi đó MA + MB  AB.

Dấu “=” xảy ra khi M là giao điểm của AB với mặt phẳng (Oxz).

Suy ra \(\overrightarrow {AM} ,\overrightarrow {AB} \) cùng phương và M  (Oxz).

Giả sử M(x; y; z).

Có \(\overrightarrow {AB} = \left( {0; - 5;2} \right),\overrightarrow {AM} = \left( {x - 1;y - 3;z - 1} \right)\).

Suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}x - 1 = 0\\y - 3 = - 5k\\z - 1 = 2k\\y = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\k = \frac{3}{5}\\z = \frac{{11}}{5}\\y = 0\end{array} \right.\)\( \Rightarrow M\left( {1;0;\frac{{11}}{5}} \right)\).

Do đó \(P = 3z - {x^2} = 3.\frac{{11}}{5} - {1^2} = 5,6\).

Trả lời: 5,6.