Trong không gian \(Oxyz\), cho hai điểm A ( 1/2 ; -1 ; 1 ) B ( 2;0; 3/2)

18/22

Trong không gian \(Oxyz\), cho hai điểm \(A\left( {\frac{1}{2}; - 1;1} \right),B\left( {2;0;\frac{3}{2}} \right)\). Phương trình của mặt cầu \(\left( S \right)\) có đường kính \(AB\) có dạng \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0\). Biết giá trị của biểu thức \(P = a + b + c + d\) là phân số \(\frac{m}{n}\) tối giản, \(m,n \in {\mathbb{Z}^ + }\). Tính \(m + n.\)

Giải thích

Mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(I\left( {\frac{5}{4};\frac{{ - 1}}{2};\frac{5}{4}} \right)\) là trung điểm \(AB\) và bán kính \(R = \frac{{AB}}{2} = \frac{{\sqrt {14} }}{4}\)

Suy ra \[\left( S \right):{\left( {x - \frac{5}{4}} \right)^2} + {\left( {y + \frac{1}{2}} \right)^2} + {\left( {z - \frac{5}{4}} \right)^2} = \frac{7}{8} \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + {z^2} - \frac{5}{2}x + y - \frac{5}{2}z + \frac{5}{2} = 0\]

Khi đó ta có \(a = \frac{5}{4};b = \frac{{ - 1}}{2};c = \frac{5}{4};d = \frac{5}{2} \Rightarrow P = \frac{9}{2}\).

Vậy \(m = 9,n = 2 \Rightarrow m + n = 11.\)