Trong không gian Oxyz, cho G(1; 4; 3) và H(4; 0; 5). a) vecto GH = (3; - 4;2)

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng.                   b) Sai.                      c) Sai.                    d) Đúng.

a) Đúng. \(\overrightarrow {GH}  = \left( {3; - 4;2} \right)\)

b) Sai. Gọi I là trung điểm của GH nên \(I\left( {\frac{5}{2};2;4} \right)\).

Ta có \(\overrightarrow n  = \overrightarrow {GH}  = \left( {3; - 4;2} \right)\).

Mặt phẳng trung trực của đoạn GH đi qua I và nhận \(\overrightarrow n  = \left( {3; - 4;2} \right)\) làm vectơ pháp tuyến có phương trình là: 3\(\left( {x - \frac{5}{2}} \right)\) − 4(y – 2) + 2(z – 4) = 0 hay 3x – 4y + 2z − \(\frac{{15}}{2}\) = 0.

c) Sai. Mặt phẳng (P) cắt các trục Ox, Oy, Oz lần lượt tại A, B, C nên A(a; 0; 0), B(0; b; 0) và  C(0; 0; c).

Vì G là trọng tâm của tứ diện OABC nên

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_G} = \frac{{{x_A} + {x_B} + {x_C} + {x_O}}}{4} = \frac{a}{4}}\\{{y_G} = \frac{{{y_A} + {y_B} + {y_C} + {y_O}}}{4} = \frac{b}{4}}\\{{z_G} = \frac{{z{}_A + {y_A} + {z_A} + {z_O}}}{4} = \frac{c}{4}}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = 4}\\{b = 16}\\{c = 12}\end{array}} \right.} \right.\).

Khi đó mặt phẳng (P) có phương trình là \(\frac{x}{4} + \frac{y}{{16}} + \frac{z}{{12}} = 1\) hay 12x + 3y + 4z – 48 = 0.

Vậy a + b + c = 19.

d) Đúng. Mặt phẳng (Q) đi qua H và song song với mặt phẳng (Oxy) có phương trình là z – 5 = 0.