Trong không gian \[Oxyz\], cho đường thẳng delta x - 1/ 3 = y - 1/ 4 = z =5

13/22

Trong không gian \[Oxyz\], cho đường thẳng \[\Delta :\frac{{x - 1}}{3} = \frac{{y - 1}}{4} = \frac{z}{5}\] và hai mặt phẳng

\[\left( \alpha \right):\; - x + 2y - 2z + 1 = 0\], \[\left( \beta \right):\;2x + my + mz - 1 = 0\]. Xét tính đúng /sai của các mệnh đề sau.

Véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng \[\left( \alpha \right)\] là \[\overrightarrow {{n_\alpha }} \left( {1; - 2;2} \right)\], mặt phẳng \[\left( \beta \right)\] là \[\overrightarrow {{n_\beta }} \left( {2\,;\,m\,;\,m} \right)\].

ĐúngSai

Véc tơ chỉ phương của đường thẳng \[\Delta \] là \[\overrightarrow {{u_\Delta }} \left( {3\,;\, - 1\,;\,5} \right)\].

ĐúngSai

Góc giữa đường thẳng \[\Delta \] và mặt phẳng \[\left( \alpha \right)\] bằng \(60^\circ \).

ĐúngSai

Có hai giá trị của tham số \[m\]thỏa mãn góc giữa đường thẳng \[\Delta \] và mặt phẳng \[\left( \beta \right)\] bằng \(60^\circ \).

ĐúngSai

Giải thích

a) Đúng

Véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng \[\left( \alpha \right)\] là \[\overrightarrow {{n_\alpha }} \left( {1; - 2;2} \right)\], véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng \[\left( \beta \right)\] là \[\overrightarrow {{n_\beta }} \left( {2\,;\,m\,;\,m} \right)\].

b) Sai

Đường thẳng \[\Delta \] có véctơ chỉ phương là \[\overrightarrow {{u_\Delta }} = \left( {3\,;\,4\,;\,5} \right)\];

c) Sai

Đường thẳng \[\Delta \] có véctơ chỉ phương là \[\overrightarrow {{u_\Delta }} = \left( {3\,;\,4\,;\,5} \right)\]; Mặt phẳng \[\left( \alpha \right)\] có véctơ pháp tuyến là \[\overrightarrow {{n_\alpha }} = \left( {1; - 2;2} \right)\].

Ta có: \[\sin \left( {\Delta ,\left( \alpha \right)} \right) = \left| {cos\left( {\overrightarrow {{u_\Delta }} ,\overrightarrow {{n_\alpha }} } \right)} \right| = \frac{{\left| {3.1 + 4.\left( { - 2} \right) + 5.2} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {4^2} + {5^2}} .\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2} + {2^2}} }} = \frac{1}{{3\sqrt 2 }}\].

d) Đúng

Đường thẳng \[\Delta \] có véctơ chỉ phương là \[\overrightarrow {{u_\Delta }} = \left( {3\,;\,4\,;\,5} \right)\]; véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng \[\left( \beta \right)\] là \[\overrightarrow {{n_\beta }} \left( {2\,;\,m\,;\,m} \right)\].

Ta có: \[\sin \left( {\Delta ,\left( {\left( \beta \right)} \right)} \right) = \left| {cos\left( {\overrightarrow {{u_\Delta }} ,\overrightarrow {{n_{\left( \beta \right)}}} } \right)} \right| = \frac{{\left| {3.2 + 4.m + 5.m} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {4^2} + {5^2}} .\sqrt {{2^2} + {m^2} + {m^2}} }} = \frac{{\left| {6 + 9m} \right|}}{{5\sqrt 2 .\sqrt {4 + 2{m^2}} }} = \frac{{\left| {6 + 9m} \right|}}{{10.\sqrt {2 + {m^2}} }}\].

Do góc giữa đường thẳng \[\Delta \] và mặt phẳng \[\left( \beta \right)\] bằng \(60^\circ \)nên ta có: \[\begin{array}{l}\sin 60^\circ = \frac{{\left| {6 + 9m} \right|}}{{10.\sqrt {2 + {m^2}} }} \Leftrightarrow \frac{{\sqrt 3 }}{2} = \frac{{\left| {6 + 9m} \right|}}{{10.\sqrt {2 + {m^2}} }} \Leftrightarrow 3.25.\left( {2 + {m^2}} \right) = 9.{\left( {3m + 2} \right)^2} \Leftrightarrow 2{m^2} + 36m - 38 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{m = 1}\\{m = - 19}\end{array}} \right.\end{array}\]