Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d: (x+1)/1=(y+2)/1 = (z-1)/1 và mặt cầu (S): x^2+y^2+z^2-2x-4y+6z-13 = 0. Lấy điểm M(a;b;c)

47/50

Trong không gianOxyz, cho đường thẳng d:x+11=y+21=z−11 và mặt cầu S:x2+y2+z2−2x−4y+6z−13=0. Lấy điểm M(a;b;c) với a<0 thuộc đường thẳng d sao cho từ M kẻ được ba tiếp tuyến MA, MB, MC đến mặt cầu (S) (A, B, Clà tiếp điểm)thỏa mãn AMB^=60°; BMC^=90°; CMA^=120°. Tổng a+b+c bằng

103

-2

Giải thích

Đáp án đúng là: C

Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d: (x+1)/1=(y+2)/1 = (z-1)/1 và mặt cầu (S): x^2+y^2+z^2-2x-4y+6z-13 = 0. Lấy điểm M(a;b;c) (ảnh 1)

Mặt cầu (S) tâm I1;2;−3;R=33.

Đặt MA=MB=MC=a

Xét ΔMAB có MA=MBAMB^=60°⇒ΔMAB đều nên AB = a.

Xét ΔMBC có MB=MCBMC^=90°⇒ΔMBCvuông cân tại M nên BC=a2.

Xét ΔMBC có MC=MA=aMAC^=120° nên áp dụng định lí Côsin ta có CA=a3.

Từ các kết quả trên ta có ΔABC vuông tại B (định lí Pythagore đảo).

⇒ΔABC ngoại tiếp đường tròn đường kính AC bán kính R=HA=AC2=a32 (với H là trung điểm của AC).

Áp dụng hệ thức lượng trong ΔIAM có:

1HA2=1AM2+1IA2⇔43a2=1a2+1332⇔a=3=MA=MB=MC

Áp dụng định lí Pythagore trong ΔIAM có:

MI2=MA2+IA2=32+332=36.

Vì M∈d nên gọi Mt−1;t−2;t+1.

⇒MI2=t−22+t−42+t+42=36

⇔3t2−4t=0⇔t=0t=43⇔M−1; −2; 1M13; −23; 73

Vì hoành độ của M âm nên ta chọn M(-1;-2;1).

⇒a+b+c=−2.