Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d: x/(- 2) = (y – 2)/1 = (z – 1)/( - 2) và mặt phẳng (P): x + my – z + 10 = 0. Có bao nhiêu giá trị của m để sin của góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 2

Đường thẳng d có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow u  = \left( { - 2;1; - 2} \right)\).

Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n  = \left( {1;m; - 1} \right)\).

sin(d, (P)) = \(\frac{{\left| { - 2 \cdot 1 + 1 \cdot m + \left( { - 2} \right) \cdot \left( { - 1} \right)} \right|}}{{\sqrt {{{\left( { - 2} \right)}^2} + {1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}}  \cdot \sqrt {{1^2} + {m^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = \frac{{\left| m \right|}}{{3 \cdot \sqrt {\left( {{m^2} + 2} \right)} }} = \frac{1}{{3\sqrt 3 }}\).

\( \Leftrightarrow \frac{{\left| m \right|}}{{\sqrt {{m^2} + 2} }} = \frac{1}{{\sqrt 3 }} \Leftrightarrow \sqrt 3  \cdot \left| m \right| = \sqrt {{m^2} + 2}  \Leftrightarrow 3{m^2} = 2{m^2} + 2\)

\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{m = 1}\\{m =  - 1}\end{array}} \right.\).