Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng d : (x − 2)/ 2 = y /− 1 = z/ 4 và mặt cầu ( S ) có phương trình x^2 + y^2 + z^2 − 2x − 4y − 2z + 4 = 0 .

35/47

Trong không gian \(Oxyz\), cho đường thẳng \(d:\frac{{x - 2}}{2} = \frac{y}{{ - 1}} = \frac{z}{4}\) và mặt cầu \(\left( S \right)\) có phương trình \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x - 4y - 2z + 4 = 0\). Hai mặt phẳng \(\left( P \right)\) và \(\left( Q \right)\) chứa \(d\) và tiếp xúc với \(\left( S \right)\). Gọi \(M,N\) là tiếp điểm. \(H\left( {a;b;c} \right)\) là trung điểm của \(MN\). Khi đó \(a + b + 2c\) bằng bao nhiêu (nhập đáp án vào ô trống)?

Click vào chỗ trống để nhập đáp án. Nhấn Enter để xác nhận, Esc để hủy.

Giải thích

Mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(I\left( {1;2;1} \right)\) bán kính \(r = \sqrt 2 \).

Gọi \(K = d \cap \left( {IMN} \right)\), ta có \(K\) là hình chiếu vuông góc của \(I\) trên \(d\).

Ta có \(K\left( {2;0;0} \right),\,\,IK = \sqrt 6 \) và \(\overrightarrow {IK} = \left( {1; - 2; - 1} \right)\).

Khi đó \(\frac{{IH}}{{IK}} = \frac{{IH \cdot IK}}{{I{K^2}}} = \frac{{{R^2}}}{{I{K^2}}} = \frac{1}{3}\) suy ra \(\overrightarrow {IH} = \frac{1}{3}\overrightarrow {IK} \) và \(H\left( {\frac{4}{3};\frac{4}{3};\frac{2}{3}} \right)\).

Vậy \(a + b + 2c = \frac{4}{3} + \frac{4}{3} + 2 \cdot \frac{2}{3} = 4\).

Đáp án cần nhập là: \(4\).