Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d: x = 1 – t; y = 3 + t; z = 4 và mặt phẳng (P): x – 2y + 2z – 3 = 0. a) Vectơ n  = (1; - 2;2) là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P).

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng.                   b) Đúng.                c) Sai.                  d) Đúng.

a) Đúng. Vectơ \(\overrightarrow n = \left( {1; - 2;2} \right)\) là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P).

b) Đúng. Thay M(2; 2; 4) vào phương trình đường thẳng d: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1 - t}\\{y = 3 + t}\\{z = 4}\end{array}} \right.\).

Ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{2 = 1 - t}\\{2 = 3 + t}\\{4 = 4}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{t = - 1}\\{t = - 1}\\{4 = 4}\end{array}} \right. \Leftrightarrow t = - 1\).

c) Sai. Đường thẳng d có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow u = \left( { - 1;1;0} \right)\)

sin(d, (P)) =\(\frac{{\left| {1 \cdot \left( { - 1} \right) + \left( { - 2} \right) \cdot 1 + 2 \cdot 0} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2} + {2^2}} \cdot \sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} + {1^2} + {0^2}} }} = \frac{3}{{3\sqrt 2 }} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\).

Vậy (d, (P)) = 45°.

d) Đúng. Gọi \(\overrightarrow {{u_{d'}}} = \left( {a;b;c} \right)\) là vectơ chỉ phương của d'.

Vì d’ // (P) nên \(\overrightarrow {{u_{d'}}} \cdot \overrightarrow {{n_P}} = 0 \Leftrightarrow a - 2 \cdot b + 2 \cdot c = 0 \Leftrightarrow a - 2b + 2c = 0\)

⇔ a = 2b – 2c (1).

cos(d, d’) = cos(45°)

= \(\frac{{\left| {a \cdot \left( { - 1} \right) + b \cdot 1 + c \cdot 0} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \cdot \sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} + {1^2} + {0^2}} }} = \frac{{\left| {b - a} \right|}}{{\sqrt 2 \cdot \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\)

\( \Leftrightarrow \)\(\frac{{\left| {b - a} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }} = 1 \Leftrightarrow \left| {b - a} \right| = \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} (2)\).

Thay (1) vào (2) ta có:

\(\left| {b - \left( {2b - 2c} \right)} \right| = \sqrt {{{\left( {2b - 2c} \right)}^2} + {b^2} + {c^2}} \Leftrightarrow \left| {2c - b} \right| = \sqrt {5{b^2} - 8bc + 5{c^2}} \)

\( \Leftrightarrow {\left( {2c - b} \right)^2} = 5{b^2} - 8bc + 5{c^2} \Leftrightarrow 4{c^2} - 4bc + {b^2} = 5{b^2} - 8bc + 5{c^2}\)

\( \Leftrightarrow 4{b^2} - 4bc + {c^2} = 0 \Leftrightarrow {\left( {2b - c} \right)^2} = 0 \Leftrightarrow 2b = c\).

Chọn b = 1 khi đó c = 2.

Do đó a = −2.

Vectơ chỉ phương của d’ là \(\overrightarrow {{u_{d'}}} = \left( { - 2;1;2} \right)\).

Đường thẳng d’ đi qua M(2; 2; 4) và nhận \(\overrightarrow {{u_{d'}}} = \left( { - 2;1;2} \right)\) làm vectơ chỉ phương có phương trình là: \(\frac{{x - 2}}{{ - 2}} = \frac{{y - 2}}{1} = \frac{{z - 4}}{2}\).