Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d: (x − 1)/2 = (y + 2)/1 = (z + 1)/(−3) và điểm A(2; −5; −6). Những phương án nào dưới đây đúng?

26/40

Thí sinh chọn các phương án đúng theo yêu cầu từ câu 21 đến câu 25 (nếu chọn duy nhất một phương án mà phương án đó là phương án đúng sẽ được tính một nửa số điểm của câu hỏi. Nếu chọn tất cả các phương án đúng sẽ đạt điểm tối đa của câu hỏi).Trong không gian \(Oxyz\), cho đường thẳng \(d:\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y + 2}}{1} = \frac{{z + 1}}{{ - 3}}\) và điểm \(A\left( {2; - 5; - 6} \right).\) Những phương án nào dưới đây đúng?

Chọn tất cả các đáp án đúng (MSQ)

1. Đường thẳng \(d\) có một vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow u = \left( {2;1; - 3} \right)\).

2. Mặt phẳng đi qua \(A\) và vuông góc với \(d\) có phương trình là \(2x + y - 3z + 17 = 0\).

3. Gọi \(H\) là hình chiếu vuông góc của \(A\) lên \(d\). Toạ độ của \(H\) là \(H\left( {3; - 1; - 4} \right)\).

4. Gọi \(\left( P \right)\) là mặt phẳng chứa đường thẳng \(d\) sao cho khoảng cách từ \(A\) đến \(\left( P \right)\) lớn nhất, khi đó phương trình mặt phẳng \(\left( P \right)\) là \(x + 4y + 2z + 7 = 0\).

Giải thích

1. Đúng. Đường thẳng \(d\) có một vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {{u_d}} = \left( {2;1; - 3} \right)\).

2. Sai. Gọi \(\left( \alpha \right)\) là mặt phẳng đi qua \(A\) và vuông góc với \(d\).

Suy ra \(\left( \alpha \right)\) có vectơ pháp tuyến \[\overrightarrow {{u_d}} = \left( {2;1; - 3} \right)\].

Phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) là: \(2\left( {x - 2} \right) + \left( {y + 5} \right) - 3\left( {z + 6} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow 2x + y - 3z - 17 = 0\)

3. Đúng. \(H \in d \Rightarrow H\left( {1 + 2t; - 2 + t; - 1 - 3t} \right)\)\( \Rightarrow \overrightarrow {AH} = \left( {2t - 1;t + 3;5 - 3t} \right)\).

\(AH \bot d \Rightarrow \overrightarrow {AH} \cdot \overrightarrow {{u_d}} = 0 \Rightarrow \left( {2t - 1} \right) \cdot 2 + \left( {t + 3} \right) \cdot 1 - 3 \cdot \left( {5 - 3t} \right) = 0\)\( \Rightarrow 14t - 14 = 0 \Rightarrow t = 1\).

Vậy \(H\left( {3; - 1; - 4} \right)\).

4. Sai. Gọi \(K\) là hình chiếu vuông góc của \(A\) lên \(\left( P \right)\).

\(AK \bot \left( P \right) \Rightarrow AK \bot HK\) nên \(\Delta AHK\) vuông tại \(K\)

\( \Rightarrow d\left( {A,\left( P \right)} \right) = AK \le AH\): hằng số

Để \[d\left( {A,\left( P \right)} \right)\] lớn nhất thì \(K \equiv H\)\( \Rightarrow K\left( {3; - 1; - 4} \right)\).

Khi đó \[\left( P \right)\] có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {AK} = \left( {1;4;2} \right)\) và đi qua điểm \(K\left( {3; - 1; - 4} \right)\) nên có phương trình \(1\left( {x - 3} \right) + 4\left( {y + 1} \right) + 2\left( {z + 4} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow x + 4y + 2z + 9 = 0\). Chọn 1, 3.