Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d: (x + 1)/1 = (y + 3)/2 = (z + 2)/2 và điểm A(3; 2; 0). Tọa độ điểm đối xứng A' của điểm A qua đường thẳng d là: ...

51/100

Trong không gian \[Oxyz,\] cho đường thẳng \(d:\frac{{x + 1}}{1} = \frac{{y + 3}}{2} = \frac{{z + 2}}{2}\) và điểm \[A\left( {3;2;0} \right).\] Tọa độ điểm đối xứng \(A'\) của điểm \(A\) qua đường thẳng \(d\) là __________

Click vào chỗ trống để nhập đáp án. Nhấn Enter để xác nhận, Esc để hủy.

Giải thích

Đáp án:

Phương pháp giải:

Xác định hình chiếu của \(A\) lên đường thẳng bằng cách tham số hóa

Giải chi tiết:

Gọi \(\left( P \right)\) là mặt phẳng đi qua \(A\) và vuông góc với đường thẳng \(d\). Phương trình của mặt phẳng \(\left( P \right)\) là \[1\left( {x - 3} \right) + 2\left( {y - 2} \right) + 2\left( {z - 0} \right) = 0\; \Leftrightarrow x + 2y + 2z - 7 = 0.\]

Gọi \(H\) là hình chiếu của \(A\) lên đường thẳng \(d,\) khi đó \[H = d \cap \left( P \right).\]

Suy ra \[H \in d \Rightarrow H\left( { - 1 + t; - 3 + 2t; - 2 + 2t} \right),\] mặt khác \[H \in \left( P \right)\; \Rightarrow - 1 + t - 6 + 4t - 4 + 4t - 7 = 0\; \Rightarrow t = 2.\] Vậy \[H\left( {1;1;2} \right).\]

Gọi \(A'\) là điểm đối xứng với \(A\) qua đường thẳng \(d,\) khi đó \(H\) là trung điểm của \[{\rm{AA'}}\] suy ra \[A\prime \left( { - 1;0;4} \right).\]