Trong không gian \[Oxyz\], cho đường thẳng d : x + 1/ 1 = y + 3/ 2 = z + 2/2

21/22

Trong không gian \[Oxyz\], cho đường thẳng \(d:\frac{{x + 1}}{1} = \frac{{y + 3}}{2} = \frac{{z + 2}}{2}\) và điểm \(A\left( {3;\,2;\,0} \right)\). Gọi \(\left( S \right)\) mặt cầu tâm \(A\) và tiếp xúc với đường thẳng \(d\), phương trình của \(\left( S \right)\) có dạng \({\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} + {\left( {z - c} \right)^2} = {R^2}\). Tính \({a^2} + 2{b^2} + 3{c^2} + 4{R^2}\).

Giải thích

Gọi \(\left( P \right)\) là mặt phẳng đi qua \(A\) và vuông góc với đường thẳng \(d\). Phương trình của mặt phẳng \(\left( P \right)\)là: \(1\left( {x - 3} \right) + 2\left( {y - 2} \right) + 2\left( {z - 0} \right) = 0\) \( \Leftrightarrow x + 2y + 2z - 7 = 0\).

Gọi \(H\) là hình chiếu của \(A\) lên đường thẳng \(d\), khi đó \(H = d \cap \left( P \right)\)

Suy ra \(H \in d \Rightarrow H\left( { - 1 + t;\, - 3 + 2t;\, - 2 + 2t} \right)\), mặt khác \(H \in \left( P \right)\) \( \Rightarrow - 1 + t - 6 + 4t - 4 + 4t - 7 = 0\) \( \Rightarrow t = 2\). Vậy \(H\left( {1;\,1;\,2} \right)\).

Vì \(\left( S \right)\) tiếp xúc với \(d\) nên \(R = d\left( {A,d} \right) = AH = 3\).

Phương trình mặt cầu \(\left( S \right)\) là \({\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {z^2} = 9\). Suy ra \(a = 3,\,\,b = 2,\,\,c = 0,\,\,{R^2} = 9\)

Vậy \({a^2} + 2{b^2} + 3{c^2} + 4{R^2} = 53.\)