Trong không gian \[Oxyz\], cho đường thẳng d: (x-1)/1 = y/2 = (z+2)/1

17/22

Trong không gian \[Oxyz\], cho đường thẳng \(d:\frac{{x - 1}}{1} = \frac{y}{2} = \frac{{z + 2}}{1}\) và mặt phẳng \(\left( P \right):3x - y + z - 25 = 0\). Một đường thẳng \(d'\) cắt trục \(Oz\) tại điểm \(M\), cắt đường thẳng \(d\) tại điểm \(N\) và \(d'\) song song với \(\left( P \right)\). Độ dài nhỏ nhất của đoạn \(MN\) bằng bao nhiêu (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)?

Nhập câu trả lời ở đây

0/3000 ký tự

Giải thích

Ta có \[M\left( {0\,;\,0\,;\,m} \right) \in Oz\], \[N\left( {1 + t\,;\,2t\,;\, - 2 + t} \right) \in d\]\[ \Rightarrow \overrightarrow {MN} = \left( {1 + t\,;\,2t\,;\, - 2 + t - m} \right)\].

Một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( P \right)\)là \[\overrightarrow n = \left( {3\,;\, - 1\,;\,1} \right)\].

Vì \(d'\) song song với \(\left( P \right)\) nên \[\overrightarrow {MN} \cdot \overrightarrow n = 0\]\[ \Leftrightarrow 3 + 3t - 2t - 2 + t - m = 0\]\[ \Leftrightarrow m = 2t + 1\].

\[ \Rightarrow \overrightarrow {MN} = \left( {1 + t\,;\,2t\,;\, - t - 3} \right)\]\[ \Rightarrow MN = \sqrt {{{\left( {1 + t} \right)}^2} + 4{t^2} + {{\left( { - t - 3} \right)}^2}} = \sqrt {6{t^2} + 8t + 10} \].

Độ dài đoạn \(MN\) nhỏ nhất \[ \Leftrightarrow \]\[t = - \frac{2}{3}\].

Đoạn dài nhỏ nhất của đoạn \(MN\)bằng \[\sqrt {\frac{{22}}{3}} = \frac{{\sqrt {66} }}{3} \approx 2,71\].

Đáp án: 2,71.