Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d là giao tuyến của hai mặt phẳng (P): x + 2y − z = 0 và (Q): x − y + 2z − 3 = 0. Các mệnh đề sau đúng hay sai?

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng.                     b) Sai.                    c) Đúng.                d) Đúng.

a) Đúng. Từ phương trình mặt phẳng (P): x + 2y − z = 0, ta xác định ngay được vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_P}} = \left( {1;2; - 1} \right)\).

b) Sai. Từ phương trình mặt phẳng (Q): x − y + 2z − 3 = 0, vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_Q}} = \left( {1; - 1;2} \right)\).

c) Đúng. Đường thẳng d là giao tuyến của (P) và (Q) nên d có một vectơ chỉ phương được tính bằng tích có hướng của hai vectơ pháp tuyến.

\(\vec v = \left[ {\overrightarrow {{n_P}} ,\overrightarrow {{n_Q}} } \right] = \left( {2 \cdot 2 - \left( { - 1} \right)\left( { - 1} \right);\left( { - 1} \right)1 - 1 \cdot 2;1\left( { - 1} \right) - 2 \cdot 1} \right) = \left( {3; - 3; - 3} \right)\)

Rút gọn vectơ \(\vec v\) bằng cách chia cho 3, ta được vectơ chỉ phương \(\vec u = \left( {1; - 1; - 1} \right)\).

d) Đúng. Thay tọa độ điểm K(1; 0; 1) lần lượt vào phương trình của (P) và (Q), ta được \(1 + 2 \cdot 0 - 1 = 0\) và \(1 - 0 + 2 \cdot 1 - 3 = 0\). Suy ra điểm K thuộc cả hai mặt phẳng nên K nằm trên giao tuyến d.