Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d là giao tuyến của hai mặt phẳng (P): x – 2y + 1 = 0 và (Q): x – 2z – 3 = 0 và mặt phẳng (α): 5x + 12y + 10 = 0. Biết sin của góc giữa đường thẳng d và

Hướng dẫn giải:

Đáp án: −9

Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) là \(\overrightarrow {{n_P}}  = \left( {1; - 2;0} \right)\).

Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (Q) là \(\overrightarrow {{n_Q}}  = \left( {1;0; - 2} \right)\).

Nên \(\overrightarrow {{u_d}}  = \left[ {\overrightarrow {{n_P}} ,\overrightarrow {{n_Q}} } \right] = \left( {4;2;2} \right)\).

Đường thẳng d có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow u  = \left( {4;2;2} \right)\).

Mặt phẳng (α) có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n  = \left( {5;12;0} \right)\).

sin(d, (α)) = \(\frac{{\left| {4 \cdot 5 + 2 \cdot 12 + 2 \cdot 0} \right|}}{{\sqrt {{4^2} + {2^2} + {2^2}}  \cdot \sqrt {{5^2} + {{12}^2} + {0^2}} }} = \frac{{44}}{{\sqrt {169}  \cdot \sqrt {24} }} = \frac{{22}}{{13\sqrt 6 }}\).

Vậy a = 22, b = 13 nên b – a = −9.