Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d là giao tuyến của hai mặt phẳng (P): 2x − 2y − z + 1 = 0 và (Q): x + 2y − 2z − 4 = 0. Xét mặt cầu (S): x^2 + y^2 + z^2 + 4x − 6y + m = 0 (m < 13).

a - Đúng; b – Sai; c – Đúng; d - Sai

a) Ta có \(\overrightarrow {{n_P}}  = (2; - 2; - 1);\,\,\overrightarrow {{n_Q}}  = (1;2; - 2) \Rightarrow \overrightarrow u  = \left[ {\overrightarrow {{n_P}} ,\overrightarrow {{n_Q}} } \right] = \left( {6;3;6} \right)\)

Vậy một vecto chỉ phương của đường thẳng \(d\) có tọa độ là \(\left( {2;1;2} \right)\). Vậy a – đúng.

b) Mặt cầu \((S)\) có tâm: \(I\left( { - 2;3;0} \right)\), bán kính \(R = \sqrt {13 - m} \). Vậy b – sai.

c) Ta có \(d\left( {I,(P)} \right) = \frac{{\left| { - 4 - 6 + 1} \right|}}{3} = 3\), khi đó \(\left( S \right)\) và \(\left( P \right)\) có điểm chung khi và chỉ khi \(3 < \sqrt {13 - m}  \Leftrightarrow 9 < 13 - m \Leftrightarrow m < 4\). Vậy c – đúng.

d) Đường thẳng d: \(\left\{ \begin{array}{l}2x - 2y - z + 1 = 0\\x + 2y - 2z - 4 = 0\end{array} \right.\) đi qua điểm \(M\left( {1;\frac{3}{2};2} \right)\)

Khoảng cách từ điểm I đến đường thẳng \(d\) là \(d(I,d) = \frac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {IM} ,\overrightarrow u } \right]} \right|}}{{\left| {\overrightarrow u } \right|}} = \frac{{\sqrt {65} }}{3}\).

Ta có \({d^2}(I,d) + 16 = 13 - m \Leftrightarrow m =- \frac{{92}}{9}\). Vậy d – sai.