Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d đi qua hai điểm E(3; 3; 0) và F(1; 2; −2). Gọi M(a; b; c) là điểm nằm trên đường thẳng d sao cho khoảng cách từ gốc tọa độ O đến M là nhỏ nhất. Tính t

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 1

Tính tọa độ của vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {EF}  = \left( {1 - 3;2 - 3; - 2 - 0} \right) = \left( { - 2; - 1; - 2} \right)\).

Chọn vectơ chỉ phương \(\vec u =  - \overrightarrow {EF}  = \left( {2;1;2} \right)\).

Đường thẳng d có phương trình tham số là \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 3 + 2t}\\{y = 3 + t}\\{z = 2t}\end{array}} \right.\).

Vì M thuộc d nên tọa độ M(3 + 2t; 3 + t; 2t). Vectơ \(\overrightarrow {OM}  = \left( {3 + 2t;3 + t;2t} \right)\).

Khoảng cách từ O đến M đạt giá trị nhỏ nhất khi M là hình chiếu vuông góc của O lên d.

Do đó, \(\overrightarrow {OM} \) vuông góc với \(\vec u\), tương đương \(\overrightarrow {OM}  \cdot \vec u = 0\) <=> 2(3 + 2t) + 1(3 + t) + 2 × 2t = 0.

<=> 6 + 4t + 3 + t + 4t = 0 <=> 9t + 9 = 0 => t = −1.

Thay t = −1 vào tọa độ M, ta được hoành độ a = 1, tung độ b = 2 và cao độ c = −2.

Tổng cần tìm là a + b + c = 1 + 2 + (−2) = 1.