Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d đi qua điểm A(2; 0; −3) và song song với đường thẳng giao tuyến của hai mặt phẳng (P): 6x − 3y − z = 0 và (Q): 2y − z + 1 = 0. Biết đường thẳng d có m

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 2,4

Từ phương trình của hai mặt phẳng (P) và (Q), ta có vectơ pháp tuyến lần lượt là \(\overrightarrow {{n_P}} = \left( {6; - 3; - 1} \right)\) và \(\overrightarrow {{n_Q}} = \left( {0;2; - 1} \right)\).

Vì đường thẳng d song song với giao tuyến của hai mặt phẳng nên d nhận tích có hướng của hai vectơ pháp tuyến làm vectơ chỉ phương:

\(\vec v = \left[ {\overrightarrow {{n_P}} ,\overrightarrow {{n_Q}} } \right] = \left( {\left( { - 3} \right)\left( { - 1} \right) - \left( { - 1} \right)2;\left( { - 1} \right)0 - 6\left( { - 1} \right);6 \cdot 2 - \left( { - 3} \right)0} \right) = \left( {5;6;12} \right)\).

Đường thẳng d cũng nhận \(\vec u = \left( {2;m;n} \right)\) làm vectơ chỉ phương nên \(\vec u\) và \(\vec v\) phải cùng phương.

Ta thiết lập chuỗi tỉ lệ để tìm m và n:\(\frac{2}{5} = \frac{m}{6} = \frac{n}{{12}} = 0,4 \Leftrightarrow m = 2,4;n = 4,8\).

Hiệu cần tìm là n − m = 4,8 − 2,4 = 2,4.