Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d đi qua điểm A(1; −1; 2) và vuông góc với mặt phẳng (P): 2x − y + 2z − 1 = 0. Gọi A' là điểm đối xứng với A qua mặt phẳng (P). Tính tổng ba tọa độ của

Hướng dẫn giải:

Đáp án: −2

Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên (P). Đường thẳng d chính là đường thẳng đi qua A, H và A'.

Vectơ chỉ phương của d là \(\overrightarrow {{n_P}}  = \left( {2; - 1;2} \right)\).

Phương trình tham số của d là \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1 + 2t}\\{y =  - 1 - t}\\{z = 2 + 2t}\end{array}} \right.\).

Giao điểm H của d và (P) có tham số t thỏa mãn:

\(2\left( {1 + 2t} \right) - \left( { - 1 - t} \right) + 2\left( {2 + 2t} \right) - 1 = 0 \Leftrightarrow 9t + 6 = 0 \Leftrightarrow t =  - \frac{2}{3}\) \( \Rightarrow H\left( { - \frac{1}{3}; - \frac{1}{3};\frac{2}{3}} \right)\).

Điểm H là trung điểm của đoạn AA'. Do đó \(A'\left( { - \frac{5}{3};\frac{1}{3}; - \frac{2}{3}} \right)\).

Tổng 3 tọa độ của A' là −2.