Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d_1}:{{x + 1} / {1} = {y} / {1} = {{z - 1} / { - 1}

24/235

Trong không gian \(Oxyz\), cho đường thẳng \({d_1}:\frac{{x + 1}}{1} = \frac{y}{1} = \frac{{z - 1}}{{ - 1}}\); \({d_2}:\frac{{x + 2}}{3} = \frac{y}{{ - 1}} = \frac{{z + 1}}{2};\)\({d_3}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1}\\{y = 1 - t\left( {t \in R} \right)}\\{z = t}\end{array}} \right.\). Phương trình đường thẳng d cắt 3 đường thẳng \({d_1};{d_2};{d_3}\) lần lượt tại \(A,B,C\) sao cho \(B\) là trung điểm của \(AC\) có véc tơ chỉ phương \(\vec u = \left( {a;b;c} \right)\). Tỉ số \(T = \frac{{a + b}}{c}\) bằng:

\(\frac{5}{2}\).

\(\frac{{ - 5}}{2}\).

\(\frac{3}{2}\).

\(\frac{{ - 3}}{2}\).

Giải thích

Đáp án đúng là B

Phương pháp giải

Gọi tọa độ giao điểm. Xác định tọa độ giao điểm đó

Lời giải

Gọi các điểm \(A,C\) lần lượt là \(A\left( { - 1 + s;s;1 - s} \right);C\left( {1;1 - t;t} \right)\).

\( \Rightarrow \) véc tơ chỉ phương của đường thẳng \(d\) là \(\vec u = \left( {2 - s;1 - t - s;t + s - 1} \right)\)

Vì \(B\) là trung điểm của \(AC\) nên \(B\left( {\frac{s}{2};\frac{{s - t + 1}}{2};\frac{{1 - s + t}}{2}} \right)\).

Ta có \({d_2}:\frac{{x + 2}}{3} = \frac{y}{{ - 1}} = \frac{{z + 1}}{2} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{ - x - 3y + 2 = 0}\\{2x - 3z + 1 = 0}\end{array}} \right.\)

Vì \(B\) thuộc đường thẳng \({d_2}\) nên ta có:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\frac{{ - s}}{2} - \frac{{3\left( {s - t + 1} \right)}}{2} + 2 = 0}\\{s + 4 - \frac{{3\left( {1 - s + t} \right)}}{2} - 3 = 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{3t - 4s = - 1}\\{ - 3t + 5s = 1}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{t = - 1/3}\\{s = 0}\end{array}} \right.} \right.} \right.\)

\(\vec u = \left( {2;\frac{4}{3}; - \frac{4}{3}} \right)\)

Vậy \(T = \frac{{a + b}}{c} = - \frac{5}{2}\)