Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng \({d_1}\) đi qua hai điểm M(1; 0; −1) và N(2; 0; −1). Đường thẳng d2 song song với d1, nằm trong mặt phẳng (R): y + z − 2 = 0 và khoảng cách giữa hai đư

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 0,75

Đường thẳng d₁ nhận vectơ nối hai điểm \(\overrightarrow {MN} = \left( {1;0;0} \right)\) làm vectơ chỉ phương.

Do đường thẳng d₂ song song với d₁ nên d₂ cũng nhận \(\vec u = \left( {1;0;0} \right)\) làm vectơ chỉ phương.

Vì d₂ nằm trong mặt phẳng (R) nên điểm K(0; a; b) thuộc d₂ cũng phải nằm trên mặt phẳng (R).

Thay tọa độ K vào phương trình (R), ta có:a + b − 2 = 0 Þ b = 2 − a.

Ta có tọa độ điểm K(0; a; 2 − a). Vectơ nối M và K là \(\overrightarrow {MK} = \left( { - 1;a;3 - a} \right)\).

Ta tính tích có hướng của \(\overrightarrow {MK} \) và \(\vec u\) để áp dụng công thức tính khoảng cách:

\(\left[ {\overrightarrow {MK} ,\vec u} \right] = \left( {a \cdot 0 - \left( {3 - a} \right)0;\left( {3 - a} \right)1 - \left( { - 1} \right)0;\left( { - 1} \right)0 - a \cdot 1} \right) = \left( {0;3 - a; - a} \right)\).

Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song là độ dài đường cao hình bình hành:

\(\frac{{\sqrt {{0^2} + {{\left( {3 - a} \right)}^2} + {{\left( { - a} \right)}^2}} }}{1} = \frac{{3\sqrt 2 }}{2} \Leftrightarrow \sqrt {2{a^2} - 6a + 9} = \sqrt {4,5} \Leftrightarrow 2{a^2} - 6a + 4,5 = 0\)

\( \Leftrightarrow 4{a^2} - 12a + 9 = 0 \Leftrightarrow {\left( {2a - 3} \right)^2} = 0 \Leftrightarrow a = 1,5\).

Với a = 1,5, ta suy ra b = 2 − 1,5 = 0,5.

Tích số cần tìm là a x b = 1,5 x 0,5 = 0,75.