Trong không gian Oxyz, cho điểm M(3; −2; 1) và mặt phẳng (Q): 2x − y + 5z + 4 = 0. Gọi d là đường thẳng đi qua M và vuông góc với (Q). Các mệnh đề sau đúng hay sai?

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng.                     b) Đúng.               c) Đúng.                d) Sai.

a) Đúng. Đọc trực tiếp từ hệ số của phương trình mặt phẳng (Q), ta có \(\overrightarrow {{n_Q}}  = \left( {2; - 1;5} \right)\).

b) Đúng. Đường thẳng d vuông góc với (Q) nên nhận \(\overrightarrow {{n_Q}} \) làm vectơ chỉ phương. Vectơ \(\overrightarrow {{u_d}}  =  - \overrightarrow {{n_Q}}  = \left( { - 2;1; - 5} \right)\) là vectơ đối, do đó hoàn toàn hợp lệ làm vectơ chỉ phương.

c) Đúng. Phương trình tham số đi qua M(3; −2; 1) với vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{n_Q}}  = \left( {2; - 1;5} \right)\) được viết chính xác là: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 3 + 2t}\\{y =  - 2 - t}\\{z = 1 + 5t}\end{array}} \right.\).

d) Sai. Thay tọa độ N(5; −3; 5) vào hệ phương trình tham số của d, ta có hệ phương trình: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{3 + 2t = 5}\\{ - 2 - t =  - 3}\\{1 + 5t = 5}\end{array}} \right.\) <=> \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2t = 2}\\{ - t =  - 1}\\{5t = 4}\end{array}} \right.\) <=> \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{t = 1}\\{t = 1}\\{t = \frac{4}{5}}\end{array}} \right.\).

Vì các giá trị của t không đồng nhất nên điểm N không thuộc đường thẳng d.