Trong không gian \[Oxyz\], cho điểm M(3;1;9)

a) Đúng. Vì \(d:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = t}\\{y = - 1 - t}\\{z = 2 + 2t}\end{array}} \right.\) nên khi \(A\left( {t; - 1 - t;2 + 2t} \right)\) thì \(A\) thuộc đường thẳng \(d\).

b) Đúng. Một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) là \[\vec n = \left( {1;1; - 1} \right)\].

c) Sai. Xét \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{3 = t}\\{1 = - 1 - t}\\{9 = 2 + 2t}\end{array}} \right.\)\( \Leftrightarrow \)\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}\begin{array}{l}t = 3\\t = - 2\end{array}\\{t = \frac{7}{2}\,\,}\end{array}} \right.\) (Vô lý). Vậy điểm \(M\) không thuộc đường thẳng \(d\).

d) Đúng. Gọi đường thẳng \(\Delta \) cắt đường thẳng \(d\) tại \(N\). Suy ra \(N\left( {t; - 1 - t;2 + 2t} \right)\).

Ta có \({\vec u_\Delta } = \overrightarrow {MN} = \left( {t - 3; - t - 2;2t - 7} \right)\) và \[{\vec n_{\left( \alpha \right)}} = \left( {1;1; - 1} \right)\].

Vì đường thẳng \(\Delta \) song song với mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) nên \({\vec u_\Delta } \bot {\vec n_{\left( \alpha \right)}}\).

Suy ra \(1 \cdot \left( {t - 3} \right) + 1 \cdot \left( { - t - 2} \right) - 1 \cdot \left( {2t - 7} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow \)\( - 2t + 2 = 0\)\( \Leftrightarrow \)\(t = 1\).

Do đó, \({\vec u_\Delta } = \left( { - 2; - 3; - 5} \right)\) và \(N\left( {1; - 2;4} \right)\).

Vậy phương trình \(\Delta :\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y + 2}}{3} = \frac{{z - 4}}{5}\).