Trong không gian Oxyz, cho điểm M(2; -3;4)

Đáp án đúng là C

Phương pháp giải

Đường thẳng \(d\) đi qua điểm \(M\), nằm trong mặt phẳng \(\left( P \right)\) và cắt mặt cầu \(\left( S \right)\) theo dây cung có độ dài lớn nhất khi và chỉ khi \(d\) đi qua hình chiếu vuông góc của tâm I của mặt của mặt cầu (\(S\)) trên mặt phẳng \(\left( P \right)\).

Lời giải

Ta có \(M\left( {2; - 3;4} \right) \in \left( P \right):x - 2y + z - 12 = 0\)

Và \({d_{\left[ {I,\left( P \right)} \right]}} = \frac{{\left| {1 - 4 + 3 - 12} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2} + {1^2}} }} = 2\sqrt 6 < R\) nên \(\left( P \right)\) cắt \(\left( S \right)\) theo giao tuyến là một đường tròn.

Gọi \(A,B\) lần lượt là giao điểm của \(d\) và \(\left( S \right)\), \(H\) là hình chiếu của I trên \(d,K\) là hình chiếu của I trên (P).

Khi đó \(IK = {d_{\left[ {I,\left( P \right)} \right]}} = 2\sqrt 6 \) và \(IH \ge IK \Leftrightarrow IH \ge 2\sqrt 6 \). Dấu bằng xảy ra khi \(H \equiv K\).

Ta có

\(AB = 2AH = 2\sqrt {A{I^2} - I{H^2}} = 2\sqrt {{R^2} - I{H^2}} \le 2\sqrt {25 - I{K^2}} = 2\sqrt {25 - \left( {2\sqrt 6 } \right)} = 2\).

Do đó giá trị lớn nhất của \(AB\) là 2, đạt được khi \(H \equiv K\).