Trong không gian Oxyz, cho điểm M(1; 4; 9). Gọi (P) là mặt phẳng đi qua M và cắt ba tia Ox, Oy, Oz lần lượt tại các điểm A, B, C (khác O) sao cho OA + OB + OC đạt giá trị nhỏ nhất

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 41

Giả sử A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c) với a, b, c > 0.

Phương trình mặt phẳng (P): \(\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1\), OA + OB + OC = a + b + c.

M(1; 4; 9) thuộc mặt phẳng (P) \(\frac{1}{a} + \frac{4}{b} + \frac{9}{c} = 1\).

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki:

\(\begin{array}{l}\left( {\frac{1}{a} + \frac{4}{b} + \frac{9}{c}} \right) \cdot \left( {a + b + c} \right)\\ = \left( {{{\left( {\sqrt {\frac{1}{a}} } \right)}^2} + {{\left( {\sqrt {\frac{4}{b}} } \right)}^2} + {{\left( {\sqrt {\frac{9}{c}} } \right)}^2}} \right) \cdot \left( {{{\left( {\sqrt a } \right)}^2} + {{\left( {\sqrt b } \right)}^2} + {{\left( {\sqrt c } \right)}^2}} \right) \ge {\left( {1 + 2 + 3} \right)^2}\end{array}\)

⇒ a + b + c ≥ 36.

Dấu “ = “ xảy ra khi \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{1}{a} + \frac{4}{b} + \frac{9}{c} = 1}\\{\frac{1}{a} = \frac{2}{b} = \frac{3}{c}}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = 6}\\{b = 12}\\{c = 18}\end{array}} \right.\).

Nên (P): \(\frac{x}{6} + \frac{y}{{12}} + \frac{z}{{18}} = 1 \Leftrightarrow 6x + 3y + 2z - 36 = 0\).

Vậy b + c – d = 41.