Trong không gian Oxyz, cho điểm M(1;3;1), mặt phẳng (P): x - 2y + z + 2 = 0 và đường thẳng

a) ĐÚNG. Vectơ \(\overrightarrow {OM} = \left( {1;3;1} \right)\). Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng trung trực cùng phương với \(\overrightarrow {OM} \), chọn \(\vec n = - \overrightarrow {OM} = \left( { - 1; - 3; - 1} \right)\).

b) SAI. Thay tọa độ \(M\left( {1;3;1} \right)\) vào phương trình \(\left( P \right)\): \(1 - 2 \cdot 3 + 1 + 2 = - 2 \ne 0\). Do đó \(M \notin \left( P \right)\).

c) ĐÚNG. Từ phương trình tham số của \(d\), vectơ chỉ phương thu được từ các hệ số của \(t\) là \(\vec u = \left( {2; - 1;1} \right)\).

d) SAI. Mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) vuông góc với \(\left( P \right)\) và chứa \(d\) nên vectơ pháp tuyến \({\vec n_\alpha } = \left[ {{{\vec u}_d},{{\vec n}_P}} \right]\).

Ta có \({\vec u_d} = \left( {2; - 1;1} \right)\) và \({\vec n_P} = \left( {1; - 2;1} \right)\).

Suy ra \({\vec n_\alpha } = \left( {\left( { - 1} \right) \cdot 1 - 1 \cdot \left( { - 2} \right);1 \cdot 1 - 2 \cdot 1;2 \cdot \left( { - 2} \right) - \left( { - 1} \right) \cdot 1} \right) = \left( {1; - 1; - 3} \right)\).

Đường thẳng \(d\) đi qua điểm \(A\left( { - 1;1;0} \right)\). Phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) đi qua \(A\) có vectơ pháp tuyến \({\vec n_\alpha }\) là: \(1\left( {x + 1} \right) - 1\left( {y - 1} \right) - 3\left( {z - 0} \right) = 0 \Leftrightarrow x - y - 3z + 2 = 0\).

Khoảng cách từ \(M\left( {1;3;1} \right)\) đến mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\): \(d\left( {M,\left( \alpha \right)} \right) = \frac{{\left| {1 - 3 - 3 \cdot 1 + 2} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2}} }} = \frac{{\left| { - 3} \right|}}{{\sqrt {11} }} = \frac{3}{{\sqrt {11} }}\).