Trong không gian Oxyz, cho điểm M(1; 1; 4), đường thẳng d : x − 10 / 7 = y + 4 / 1 = z − 15 / 8 và mặt phẳng (P): 2 x − y + 3 z − 1 = 0 .

a) Phương trình tham số của đường thẳng d là \(\left\{ \begin{array}{l}x = 10 + 7t\\y = t - 4\\z = 15 + 8t\end{array} \right.\).

b) Có \(\overrightarrow {{n_P}} = \left( {2; - 1;3} \right)\), \(\overrightarrow {{u_d}} = \left( {7;1;8} \right)\).

\(\sin \left( {d,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {2.7 + \left( { - 1} \right).1 + 3.8} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {3^2}} .\sqrt {{7^2} + {1^2} + {8^2}} }} = \frac{{37}}{{2\sqrt {399} }}\) \( \Rightarrow \left( {d,\left( P \right)} \right) \approx 68^\circ \).

c) Mặt phẳng qua M và vuông góc với đường thẳng d nhận \(\overrightarrow {{u_d}} = \left( {7;1;8} \right)\) làm vectơ pháp tuyến có phương trình là \(7\left( {x - 1} \right) + \left( {y - 1} \right) + 8\left( {z - 4} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow 7x + y + 8z - 40 = 0\).

d) Ta có \(R = d\left( {M,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {2.1 - 1 + 3.4 - 1} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {3^2}} }} = \frac{{12}}{{\sqrt {14} }}\).

Phương trình mặt cầu cần lập là \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z - 4} \right)^2} = \frac{{72}}{7}\).

Đáp án: a) Đúng; b) Đúng; c) Đúng; d) Đúng.