Trong không gian Oxyz , cho điểm M ( − 2 ; 1 ; 3 ) . Mặt phẳng ( α ) đi qua M và cắt các trục Ox , Oy , Oz tại A , B , C sao cho M là trực tâm tam giác ABC . Viết phương trình mặ

30/49

Trong không gian \(Oxyz\), cho điểm \(M\left( { - 2;1;3} \right)\). Mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) đi qua \(M\) và cắt các trục \(Ox,Oy,Oz\) tại \(A,B,C\) sao cho \(M\) là trực tâm tam giác \(ABC\). Viết phương trình mặt cầu tâm \(O\) và tiếp xúc với mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\).

\(\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} = 14\).

\(\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} = 9\).

\(\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} = 11\).

\(\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} = 16\).

Giải thích

Ta có: \(M\) là trực tâm tam giác \(ABC \Rightarrow OM \bot \left( {ABC} \right)\).

Thật vậy: \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{OC \bot OA}\\{OC \bot OB}\end{array} \Rightarrow OC \bot AB} \right.\] (1).

Mà \(CM \bot AB\) (vì \(M\) là trực tâm tam giác \(ABC\)) (2).

Từ \(\left( 1 \right),\left( 2 \right) \Rightarrow AB \bot \left( {OMC} \right) \Rightarrow AB \bot OM\) (*).

Tương tự \(BC \bot \left( {OAM} \right) \Rightarrow BC \bot OM\) (**).

Từ (*) và (**) \( \Rightarrow OM \bot \left( {ABC} \right)\)

Khi đó mặt cầu tâm \(O\) tiếp xúc mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) có bán kính \(R = OM = \sqrt {4 + 1 + 9} = \sqrt {14} \)

Vậy mặt cầu tâm \(O\) và tiếp xúc với mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) là \(\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} = 14\). Chọn A.