Trong không gian Oxyz, cho điểm M( { - 2;1;3}

86/235

Trong không gian \(Oxyz\), cho điểm \(M\left( { - 2;1;3} \right)\). Mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) đi qua \(M\) và cắt các trục \(Ox,Oy,Oz\) tại \(A,B,C\) sao cho \(M\) là trực tâm tam giác \(ABC\). Viết phương trình mặt cầu tâm \(O\) và tiếp xúc với mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\).

\(\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} = 14\).

\(\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} = 9\).

\(\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} = 11\).

\(\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} = 16\).

Giải thích

Đáp án đúng là A

Phương pháp giải

Lời giải

Trong không gian Oxyz, cho điểm M( { - 2;1;3} (ảnh 1)

Ta có: \(M\) là trực tâm tam giác \(ABC \Rightarrow OM \bot \left( {ABC} \right)\).

Thật vậy: \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{OC \bot OA}\\{OC \bot OB}\end{array} \Rightarrow OC \bot AB} \right.\](1)

Mà \(CM \bot AB\) (vì \(M\) là trực tâm tam giác \(ABC\)) (2)

Từ \(\left( 1 \right),\left( 2 \right) \Rightarrow AB \bot \left( {OMC} \right) \Rightarrow AB \bot OM\) (*)

Tương tự \(BC \bot \left( {OAH} \right) \Rightarrow BC \bot OM\) (**)

Từ (*) và (**) \( \Rightarrow OM \bot \left( {ABC} \right)\)

Khi đó mặt cầu tâm \(O\) tiếp xúc mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) có bán kính \(R = OM = \sqrt {4 + 1 + 9} = \sqrt {14} \)

Vậy mặt cầu tâm \(O\) và tiếp xúc với mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) là \(\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} = 14\)