Trong không gian \(Oxyz\), cho điểm M ( 1;4;9) . Gọi (P) là mặt phẳng đi qua \(M\) và cắt 3 tia

20/22

Trong không gian \(Oxyz\), cho điểm \(M\left( {1;4;9} \right)\). Gọi \(\left( P \right)\) là mặt phẳng đi qua \(M\) và cắt 3 tia \(Ox,{\rm{ }}Oy,{\rm{ }}Oz\) lần lượt tại các điểm \(A,{\rm{ }}B,\,C\) (khác \(O\)) sao cho \[OA + OB + OC\] đạt giá trị nhỏ nhất. Tính khoảng cách \(d\) từ gốc tọa độ \(O\) đến mặt phẳng \(\left( P \right)\) (kết quả là tròn đến hàng phần trăm).

Giải thích

Giả sử \(A\left( {a;0;0} \right),{\rm{ }}B\left( {0;b;0} \right),{\rm{ }}C\left( {0;0;c} \right)\) với \(a,b,c > 0.\)

Phương trình mặt phẳng \(\left( P \right):\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1\); \[OA + OB + OC = a + b + c\]

\(M\left( {1;4;9} \right) \in \left( P \right) \Rightarrow \frac{1}{a} + \frac{4}{b} + \frac{9}{c} = 1\).

Áp dụng BĐT Bunhiacopxki:

\(\left( {\frac{1}{a} + \frac{4}{b} + \frac{9}{c}} \right)\left( {a + b + c} \right) = \left( {{{\left( {\sqrt {\frac{1}{a}} } \right)}^2} + {{\left( {\sqrt {\frac{4}{b}} } \right)}^2} + {{\left( {\sqrt {\frac{9}{c}} } \right)}^2}} \right)\left( {{{\left( {\sqrt a } \right)}^2} + {{\left( {\sqrt b } \right)}^2} + {{\left( {\sqrt c } \right)}^2}} \right) \ge {\left( {1 + 2 + 3} \right)^2}.\)

\( \Rightarrow a + b + c \ge 36.\)

Dấu “\( = \)” xảy ra khi Nên \(\left( P \right):\frac{x}{6} + \frac{y}{{12}} + \frac{z}{{18}} = 1.\)

Vậy \(d = \frac{{36}}{7} \approx 5,14\).