Trong không gian Oxyz, cho điểm M(1; 4; 9). Gọi (P) là mặt phẳng đi qua M và cắt 3 tia Ox, Oy, Oz lần lượt tại các điểm A, B, C (khác O) sao cho OA + OB + OC đạt giá trị nhỏ nhất. Tính khoảng

Giả sử A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c) với a, b, c > 0.

Phương trình mặt phẳng (P): \(\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1\).

Ta có OA + OB + OC = a + b + c.

Vì M(1; 4; 9) ∈ (P) \( \Rightarrow \frac{1}{a} + \frac{4}{b} + \frac{9}{c} = 1\).

Ta có \(\left( {\frac{1}{a} + \frac{4}{b} + \frac{9}{c}} \right)\left( {a + b + c} \right) \ge {\left( {1 + 2 + 3} \right)^2}\) \(a + b + c \ge 36\).

Dấu “=” xảy ra khi \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{a} + \frac{4}{b} + \frac{9}{c} = 1\\\frac{1}{a} = \frac{2}{b} = \frac{3}{c}\end{array} \right.\)\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 6\\b = 12\\c = 18\end{array} \right.\).

Khi đó phương trình mặt phẳng (P): \(\frac{x}{6} + \frac{y}{{12}} + \frac{z}{{18}} = 1\)\( \Leftrightarrow 6x + 3y + 2z - 36 = 0\).

Vậy \(d\left( {O,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| { - 36} \right|}}{{\sqrt {36 + 9 + 4} }} = \frac{{36}}{7} \approx 5,14\).

Trả lời: 5,14.