Trong không gian \[Oxyz,\] cho điểm M ( 1;2 3) và ba điểm \(A,B,C\) lần lượt là hình chiếu vuông

14/22

Trong không gian \[Oxyz,\] cho điểm \(M\left( {1\,;\,2\,;\,3} \right)\) và ba điểm \(A,B,C\) lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm \(M\left( {1\,;\,2\,;\,3} \right)\) lên các trục tọa độ. Gọi \[\left( P \right)\]là mặt phẳng đi qua ba điểm \[A,B,C.\] Các khẳng định sau đúng hay sai?

Một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( P \right)\) là \(\overrightarrow n \left( {6\,;\,3\,;2} \right)\).

ĐúngSai

Phương trình mặt phẳng \[\left( P \right)\]là \[\frac{x}{1} + \frac{y}{2} + \frac{z}{3} = 0.\].

ĐúngSai

Điểm \[M\left( {3;0; - 2} \right)\]thuộc mặt phẳng \[\left( P \right)\].

ĐúngSai

Khoảng cách từ gốc tọa độ \[O\] đến mặt phẳng \[\left( P \right)\]bằng \[\frac{6}{7}\].

ĐúngSai

Giải thích

+ Gọi \(A,B,C\) lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm \(M\left( {1\,;\,2\,;\,3} \right)\) lên \(Ox,Oy,Oz\).

Suy ra: \(A\left( {1\,;\,0\,;\,0} \right),B\left( {0\,;\,2\,;\,0} \right),C\left( {0\,;\,0\,;\,3} \right)\).

+ Vậy phương trình mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\)theo đoạn chắn là \[\frac{x}{1} + \frac{y}{2} + \frac{z}{3} = 1 \Leftrightarrow 6x + 3y + 2z - 6 = 0\].

+ Từ đó ta có a) đúng và b) sai

+ Thay tọa độ điểm \[M\left( {3;0; - 2} \right)\]vào phương trình \[6x + 3y + 2z - 6 = 0\]ta có \[6.3 + 3.0 + 2.( - 2) - 6 = 8 \ne 0\]nên điểm \[M\left( {3;0; - 2} \right)\]không thuộc mặt phẳng \[\left( P \right)\]. Suy ra c) sai.

+ Ta có \[d\left( {O,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| { - 6} \right|}}{{\sqrt {{6^2} + {3^2} + {2^2}} }} = \frac{6}{7}.\] Suy ra d) đúng