Trong không gian Oxyz , cho điểm M ( 1/2 ; √ 3/2 ; 0 ) và mặt cầu ( S ) : x^ 2 + y^2 + z^2 = 8 . Đường thẳng d thay đổi, đi qua điểm M , cắt mặt cầu ( S ) tại hai điểm phân biệt A

34/50

Trong không gian \[Oxyz\], cho điểm \(M\left( {\frac{1}{2};\frac{{\sqrt 3 }}{2};0} \right)\) và mặt cầu \(\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} = 8\). Đường thẳng \(d\) thay đổi, đi qua điểm \(M,\) cắt mặt cầu \(\left( S \right)\) tại hai điểm phân biệt \(A,B\). Tính diện tích lớn nhất \(S\) của tam giác \(OAB\).

\(S = 2\sqrt 2 \).

\(S = 4\).

\(S = \sqrt 7 \).

\(S = 2\sqrt 7 \).

Giải thích

Mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(O = \left( {0;0;0} \right)\), bán kính \(R = 2\sqrt 2 \).

Ta có \(OM = 1 \Rightarrow M\) nằm trong mặt cầu. Gọi \(I\) là trung điểm \(AB \Rightarrow OI \bot AB\).

Đặt \(x = OI \le OM \Rightarrow 0 < x \le 1.\)

Khi đó \[{S_{\Delta OAB}} = \frac{1}{2}OI \cdot AB = OI\sqrt {{R^2} - O{I^2}} = x\sqrt {8 - {x^2}} = f\left( x \right)\].

\[ \Rightarrow f'\left( x \right) = \frac{{2\left( {4 - {x^2}} \right)}}{{\sqrt {8 - {x^2}} }}\left( {0 < x \le 1} \right)\].

Với \[0 < x \le 1\] thì \(f'\left( x \right) > 0\) nên hàm số \(f\left( x \right)\) đồng biến.

Do đó \(\mathop {\max }\limits_{\left( {0;1} \right]} f\left( x \right) = f\left( 1 \right) = \sqrt 7 \).

Vậy \(\max {S_{\Delta OAB}} = \sqrt 7 \) khi \(OI = 1\) hay \(I \equiv M.\) Chọn C.