Trong không gian Oxyz, cho điểm I(4; - 1;2) và mặt phẳng (P):x - 2y + 2z - 1 = 0. Mặt cầu (S) có tâm I và cắt (P) theo giao tuyến là đường tròn có chu vi 8pi

98/235

Trong không gian \[Oxyz,\] cho điểm $I(4; - 1;2)$ và mặt phẳng \[(P):x - 2y + 2z - 1 = 0.\] Mặt cầu $(S)$ có tâm $I$ và cắt $(P)$ theo giao tuyến là đường tròn có chu vi $8\pi $. Phương trình mặt cầu $(S)$ là:

${(x - 4)^2} + {(y + 1)^2} + {(z - 2)^2} = 25.$

${(x - 4)^2} + {(y + 1)^2} + {(z - 2)^2} = 5.$

${(x + 4)^2} + {(y - 1)^2} + {(z + 2)^2} = 25.$

${(x + 4)^2} + {(y - 1)^2} + {(z + 2)^2} = 5.$

Giải thích

Giải chi tiết:

$Trong không gian \[Oxyz,\] cho điểm $I(4; - 1;2)$ và mặt phẳng \[(P):\;x - 2y + 2z - 1 = 0.\] (ảnh 1)$

\[IH = d(I,(P)) = \frac{{|4 - 2( - 1) + 2 \cdot 2 - 1|}}{{\sqrt {{1^2} + {{( - 2)}^2} + {2^2}} }} = 3.\]

Chu vi đường tròn giao tuyến:

\[C = 2\pi r = 8\pi \Rightarrow r = 4.\]

Vì ${R^2} = {r^2} + I{H^2}$ nên

\[{R^2} = {4^2} + {3^2} = 25 \Rightarrow R = 5.\]

Vậy phương trình mặt cầu $(S)$ là:

\[{(x - 4)^2} + {(y + 1)^2} + {(z - 2)^2} = 25.\]

Đáp án cần chọn là: A.