Trong không gian Oxyz, cho điểm I(1; -2; 3). a) Mặt cầu tâm I và bán kính bằng 3 có phương trình: x^2 + y^2 + z^2 – 2x + 4y – 9z + 5 = 0.
Hướng dẫn giải:
Đáp án: a) Sai. b) Đúng. c) Sai. d) Sai.
a) Sai. Mặt cầu tâm I và bán kính bằng 3 có phương trình:
(x – 1)2 + (y + 2)2 + (z – 3)2 = 9 <=> x2 + y2 + z2 – 2x + 4y – 6z + 5 = 0.
b) Đúng. Gọi J là hình chiếu của I lên trục Ox => J(1; 0; 0).
Do mặt cầu tiếp xúc với trục Ox nên R = IJ = d(I, Ox) =\(\sqrt {13} \).
Mặt cầu tâm I và có bán kính R =\(\sqrt {13} \) có phương trình:
(x – 1)2 + (y + 2)2 + (z – 3)2 = 13 <=> x2 + y2 + z2 – 2x + 4y – 6z + 1 = 0.
c) Sai. Ta có: d = d(I, (Oxy)) =\(\left| 3 \right|\)= 3.
Do mặt phẳng (Oxy) theo một đường tròn có bán kính bằng 1 nên bán kính mặt cầu là \(R = \sqrt {{d^2} + {r^2}} = \sqrt {{3^2} + {1^2}} = \sqrt {10} \).
Mặt cầu tâm I và bán kính R =\(\sqrt {10} \) có phương trình là:
(x – 1)2 + (y + 2)2 + (z – 3)2 = 10 <=> x2 + y2 + z2 – 2x + 4y – 6z + 4 = 0.
d) Sai.
Gọi H là trung điểm AB => IH AB tại H => IH = d(I, AB) = d(I, Ox) =\(\sqrt {13} \)
Bán kính mặt cầu là R =\(\sqrt {I{H^2} + A{H^2}} = \sqrt {13 + 3} = 4\).
Mặt cầu tâm I và bán kính R = 4 có phương trình là:
(x – 1)2 + (y + 2)2 + (z – 3)2 = 16 <=> x2 + y2 + z2 – 2x + 4y – 6z – 2 = 0.