Trong không gian Oxyz, cho điểm I{1;0;0} và đường thẳng

36/235

Trong không gian \[Oxyz\], cho điểm \(I\left( {1;0;0} \right)\)và đường thẳng \(d:\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y - 1}}{2} = \frac{{z + 2}}{1}\). Phương trình mặt cầu \[\left( S \right)\]có tâm I và cắt đường thẳng d tại hai điểm A, B sao cho tam giác IAB đều là:

\({\left( {x + 1} \right)^2} + {y^2} + {z^2} = \frac{{20}}{3}\).

\({\left( {x - 1} \right)^2} + {y^2} + {z^2} = \frac{{20}}{3}\).

\({\left( {x - 1} \right)^2} + {y^2} + {z^2} = \frac{{16}}{4}\).

\({\left( {x - 1} \right)^2} + {y^2} + {z^2} = \frac{5}{3}\).

Giải thích

Đường thẳng \[d\]đi qua \[M\left( {1;\,1;\, - 2} \right)\]và có VTCP \[\overrightarrow u = \left( {1;\,2;1} \right)\].

Ta có \[\overrightarrow {MI} = \left( {0; - 1;2} \right)\]và \[\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {MI} } \right] = \left( {5; - 2; - 1} \right)\].

Gọi H là hình chiếu của I trên d. Có: \[IH = d\left( {I,\,AB} \right) = \frac{{\left| {\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {MI} } \right]} \right|}}{{\left| {\overrightarrow u } \right|}} = \sqrt 5 \].

Xét tam giác IAB, có \[IH = R \cdot \frac{{\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow R = \frac{{2IH}}{{\sqrt 3 }} = \frac{{2\sqrt {15} }}{3}\].

Vậy phương trình mặt cầu là: \({\left( {x - 1} \right)^2} + {y^2} + {z^2} = \frac{{20}}{3}.\)Chọn B.