Trong không gian Oxyz, cho điểm H)1;2;-2)

14/235

Trong không gian \[Oxyz,\] cho điểm \(H\left( {1\,;\,\,2\,;\,\, - 2} \right).\) Mặt phẳng \[\left( \alpha \right)\] đi qua \[H\] và cắt các trục \[Ox,\,\,Oy,\,\,Oz\] tại \[A,\,\,B,\,\,C\] sao cho H là trực tâm tam giác \[ABC.\] Phương trình mặt cầu tâm \(O\) và tiếp xúc với mặt phẳng \[\left( \alpha \right)\] là:

\({x^2} + {y^2} + {z^2} = 81.\)

\({x^2} + {y^2} + {z^2} = 1.\)

\({x^2} + {y^2} + {z^2} = 9.\)

\({x^2} + {y^2} + {z^2} = 25.\)

Giải thích

Trong không gian Oxyz, cho điểm H)1;2;-2) (ảnh 1)

Ta có \(H\) là trực tâm tam giác \(ABC \Rightarrow OH \bot \left( {ABC} \right).\)

Thật vậy: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{OC \bot OA}\\{OC \bot OB}\end{array} \Rightarrow OC \bot AB} \right.\) (1).

Mà \(CH \bot AB\) (vì \(H\) là trực tâm tam giác \[ABC\] (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(AB \bot \left( {OHC} \right) \Rightarrow AB \bot OH & (*)\)

Tương tự \(BC \bot \left( {OAH} \right) \Rightarrow BC \bot OH\quad (**)\)

Từ \((*)\) và \((**)\) suy ra \(OH \bot \left( {ABC} \right).\)

Khi đó mặt cầu tâm \(O\) tiếp xúc mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) có bán kính \(R = OH = 3.\)

Vậy mặt cầu tâm \(O\) và tiếp xúc với mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) là \(\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} = 9.\) Chọn C.