Trong không gian Oxyz, cho điểm E (2; 1; 3), mặt phẳng (P): 2x + 2y − z − 3 = 0 và mặt cầu (S) : (x − 3)^2 + (y − 2)^2 + (z − 5)^2 =36

Đáp án đúng: S; Đ; Đ.

Giải chi tiết:

Mặt cầu \((S)\) có tâm \(I(3;2;5)\) và bán kính \(R = 6\).

Ta có:

          $\overrightarrow{EI}=(1;1;2)\Rightarrow EI=\Vert \overrightarrow{EI}\Vert =\sqrt{1^2+1^2+2^2}=\sqrt{6}<6=R.$                                                        

Suy ra điểm \(E\) nằm trong mặt cầu \((S)\).

Do đó khẳng định a) sai.

Ta có \(E \in (P)\) và \(\Delta \subset (P)\).

Giao tuyến của mặt cầu \((S)\) với mặt phẳng qua \(E\) và vuông góc với \((P)\) là một đường tròn \((C)\) có tâm \(K\) là hình chiếu vuông góc của \(I\) lên \((P)\).

Giả sử:

                                          \[\Delta \cap (S) = \{ A,B\} .\]

Độ dài \(AB\) nhỏ nhất khi và chỉ khi \(d(K,\Delta )\) lớn nhất.

Gọi \(F\)là hình chiếu của \(K\) lên \(\Delta \),

khi đó:

                                           \[d(K,\Delta ) = KF \le KE.\]

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi \(F \equiv E\).

Suy ra:

                                                   \[KE \bot \Delta .\]

Ta có vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \((P)\) là:

                                              \[{\vec n_P} = (2;2; - 1).\]

Một vectơ cùng phương với \(\overrightarrow {IE} \) và song song với \((P)\) là:

                                                  \[\vec u = (1; - 1;0),\]

nên \(\Delta \) có một vectơ chỉ phương là \(\vec u = (1; - 1;0)\).

Khẳng định b) đúng.

Vì \(\Delta \) nằm trong mặt phẳng vuông góc với \((P)\) tại \(E\), nên hai điểm \(A,B\) nằm trên đường tròn giao tuyến \((C)\).

Khẳng định c) đúng.

Phương trình đường thẳng \(\Delta \) là:

  \[\Delta :\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 2 + t,}\\{y = 1 - t,}\\{z = 3.}\end{array}} \right.\]

Đáp án cần chọn: S; Đ; Đ.