Trong không gian Oxyz, cho điểm E( {2;1;3}

44/235

Trong không gian \(Oxyz\), cho điểm \(E\left( {2;1;3} \right)\), mặt phẳng \(\left( P \right):2x + 2y - z - 3 = 0\) và mặt cầu \(\left( S \right):{(x - 3)^2} + {(y - 2)^2} + {(z - 5)^2} = 36\). Gọi \({\rm{\Delta }}\) là đường thẳng đi qua \(E\), nằm trong \(\left( P \right)\) và cắt \(\left( S \right)\) tại hai điểm có khoảng cách nhỏ nhất. Một vectơ chỉ phương của \({\rm{\Delta }}\) là

\(\overrightarrow {{u_{\rm{\Delta }}}} = \left( {1;1;4} \right)\).

\(\overrightarrow {{u_{\rm{\Delta }}}} = \left( {5; - 3;4} \right)\).

\(\overrightarrow {{n_\alpha }} = \left( {1; - 1;0} \right)\).

\(\overrightarrow {{n_\alpha }} = \left( {4; - 3;2} \right)\)

Giải thích

Đáp án đúng là C

Phương pháp giải

Đường thẳng đi qua một điểm nằm bên trong mặt cầu, cắt mặt cầu tại hai điểm có khoảng cách nhỏ nhất khi và chỉ khi đường thẳng đó vuông góc với đoạn thẳng nối điểm đi qua và tâm mặt cầu.

Lời giải

Mặt phẳng \(\left( P \right):2x + 2y - z - 3 = 0\) có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_P}} = \left( {2;2; - 1} \right)\).

Mặt cầu \(\left( S \right):{(x - 3)^2} + {(y - 2)^2} + {(z - 5)^2} = 36\) có tâm \(I\left( {3;2;5} \right)\) và bán kính \(R = 6\).

Ta có \(\overrightarrow {EI} = \left( {1;1;2} \right)\) và \(EI = \sqrt 6 < R\) nên \(E\) nằm bên trong mặt cầu \(\left( S \right)\).

\({\rm{\Delta }}\) là đường thẳng đi qua \(E\) và cắt (S) tại hai điểm có khoảng cách nhỏ nhất nên \(\overrightarrow {{u_{\rm{\Delta }}}} \bot \overrightarrow {EI} \).

Mặt khác, \({\rm{\Delta }}\) nằm trong ( \(P\) ) nên \(\overrightarrow {{u_{\rm{\Delta }}}} \bot \overrightarrow {{n_P}} \).

Ta có \(\left[ {\overrightarrow {EI} ,\overrightarrow {{n_P}} } \right] = \left( { - 5;5;0} \right)\). Do đó, chọn \(\overrightarrow {{u_{\rm{\Delta }}}} = \left( {1; - 1;0} \right)\).