Trong không gian Oxyz, cho điểm C(0;6;1) và đường thẳng Δ song song với trục Oz. Một điểm M di động trên Δ sao cho 0 ≤ z_M ≤ 10. Biết rằng tổng khoảng cách từ hai điểm A(3;0;0) và B(-3;0;0) đ
Đáp án: \(111\).
Do \[\Delta \,{\rm{//}}\,Oz\] nên phương trình tham số của \(\Delta :\left\{ \begin{array}{l}x = a\\y = b\\z = t\end{array} \right.\). Gọi \(P = \Delta \cap \left( {Oxy} \right) \Rightarrow P\left( {a\,;\,b\,;\,0} \right)\).
Ta có: \(A,\,B \in Ox \Rightarrow AP \bot \Delta ,\,BP \bot \Delta \)
\(d(A,\Delta ) = AP = \sqrt {{{(a - 3)}^2} + {b^2}} \)
\(d(B,\Delta ) = BP = \sqrt {{{(a + 3)}^2} + {b^2}} \)
Theo đề bài: \(\sqrt {{{(a - 3)}^2} + {b^2}} + \sqrt {{{(a + 3)}^2} + {b^2}} = 2\sqrt {34} {\rm{ }}\left( 1 \right)\)
Trong mặt phẳng \(Oxy\), có \(P(a,b)\)
Khi đó: \(PA + PB = 2\sqrt {34} \) với \(A(3,0),B( - 3,0)\).
Suy ra \(P\)nằm trên đường elip có hai tiêu điểm \(A,B\)với \(2{a_{{\rm{elip}}}} = 2\sqrt {34} \Rightarrow {a_{{\rm{elip}}}} = \sqrt {34} \).
Khoảng cách hai tiêu điểm: \(2c = AB = 6 \Rightarrow c = 3\).
Suy ra: \[b_{{\rm{elip}}}^2 = {a_{elip}}^2 - {c^2} = 34 - 9 = 25\] nên \({b_{{\rm{elip}}}} = 5\).
Ta có phương trình elip:
Vậy điểm \(P(a,b)\) nằm trên elip này.
Điểm \(M \in \Delta \) có tọa độ dạng: \(M(a,b,{z_M})\)
Để \(MC\) nhỏ nhất thì \(M\) là hình chiếu của \(C\) trên \(\Delta \), suy ra \({z_M} = 1\)(vì \(0 \le 1 \le 10\), thỏa điều kiện).
Khi đó \(M{C^2} = {a^2} + {(b - 6)^2}\) nhỏ nhất với điều kiện: \(\frac{{{a^2}}}{{34}} + \frac{{{b^2}}}{{25}} = 1\).
Trên mp \(\left( {Oxy} \right)\) ta cần tìm điểm thuộc elip \(\left( E \right)\) gần điểm \((0,6)\) nhất.
Vì elip \(\left( E \right)\) đối xứng qua tâm \(O\), trục lớn nằm trên \(Ox\), trục nhỏ nằm trên \(Oy\), nên điểm cao nhất của elip là \((0,5)\) gần điểm \((0,6)\) nhất.
Suy ra: \(a = 0,\,b = 5\).
Vậy trong hệ toạ độ không gian, ta có
\(S = {x_0} + 20{y_0} + 11{z_0}\)
\( = 0 + 20.5 + 11.1\)
\( = 100 + 11 = 111\).