Trong không gian Oxyz, cho điểm B(1; 2; −1) và mặt phẳng (P): x + y − z + 2 = 0. Gọi d là đường thẳng đi qua B và vuông góc với (P). Các mệnh đề sau đúng hay sai?

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng.                     b) Đúng.               c) Đúng.                d) Sai.

a) Đúng. Vectơ pháp tuyến của (P) là \(\overrightarrow {{n_P}}  = \left( {1;1; - 1} \right)\). Đường thẳng d vuông góc với (P) nên lấy \(\overrightarrow {{n_P}} \) làm vectơ chỉ phương.

Phương trình chính tắc là \(\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y - 2}}{1} = \frac{{z - \left( { - 1} \right)}}{{ - 1}}\) Û \(\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y - 2}}{1} = \frac{{z + 1}}{{ - 1}}\).

b) Đúng. Phương trình tham số của d là \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1 + t}\\{y = 2 + t}\\{z =  - 1 - t}\end{array}} \right.\). Mặt phẳng (Oxz) có phương trình y = 0. Thay y = 0 vào hệ: 2 + t = 0 => t = −2.

Khi đó hoành độ x = 1 + (−2) = −1, cao độ z = −1 − (−2) = 1.

Giao điểm là (−1; 0; 1).

c) Đúng. Thế các biểu thức x, y, z từ phương trình tham số của d vào phương trình mặt phẳng (P) ta giải như sau: (1 + t) + (2 + t) − (−1 − t) + 2 = 0 ⇔ 1 + t + 2 + t + 1 + t + 2 = 0 ⇔ 3t + 6 = 0 => t = −2.

Thay t = −2 vào d ta được giao điểm I(−1; 0; 1).

d) Sai. Khoảng cách từ B đến mặt phẳng (P) chính là độ dài đoạn thẳng BI. Tính độ dài BI bằng công thức:

\(BI = \sqrt {{{\left( { - 1 - 1} \right)}^2} + {{\left( {0 - 2} \right)}^2} + {{\left( {1 - \left( { - 1} \right)} \right)}^2}}  = \sqrt {{{\left( { - 2} \right)}^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2} + {2^2}}  = \sqrt {4 + 4 + 4}  = \sqrt {12}  = 2\sqrt 3 \).

Giá trị \(2\sqrt 3 \) khác 3.