Trong không gian Oxyz, cho điểm A(−7;19;−15) và điểm B. Biết rằng bộ ba tọa độ (xB; yB; zB) của điểm B theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng có công sai d = 2 và điểm B thuộc (P): x + y −

19/22

Trong không gian \(Oxyz\), cho điểm \(A\left( { - 7;19; - 15} \right)\) và điểm \(B\). Biết rằng bộ ba tọa độ \(\left( {{x_B};{y_B};{z_B}} \right)\) của điểm \(B\) theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng có công sai \(d = 2\) và điểm \(B \in \left( P \right):\,x + y - z - 3 = 0\). Trên đoạn thẳng \(AB\), người ta lấy hai điểm \(M\left( {a;\,b;\,c} \right)\) và \(N\) (các điểm xếp theo thứ tự \(A,\,M,\,N,\,B\)) sao cho độ dài ba đoạn thẳng \(AM,\,MN,\,NB\) lập thành một cấp số cộng. Biết đoạn \(MN\) dài hơn đoạn \(AM\) một khoảng đúng bằng \(\frac{1}{3}\) độ dài đoạn \(AM\). Khi đó hãy tính tổng \(T = a + b + c\)

Nhập câu trả lời ở đây

Giải thích

Toạ độ điểm \(B\left( {{x_B};{y_B};{z_B}} \right)\) theo thứ tự lập thành cấp số cộng với công sai \(d = 2\) nên ta suy ra:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_B} = {u_1}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\\{{y_B} = {u_1} + 2\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\\{{z_B} = {u_1} + 2 + 2 = {u_1} + 4\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\end{array}} \right.\)

Mặt khác: \(B \in \left( P \right) \Leftrightarrow {u_1} + \left( {{u_1} + 2} \right) - \left( {{u_1} + 4} \right) - 3 = 0 \Leftrightarrow {u_1} = 5 \Rightarrow B\left( {5;7;9} \right)\)

Vì \(AM,\,MN,\,NB\) lập thành một cấp số cộng và \(MN\) dài hơn đoạn \(AM\) một khoảng đúng bằng \(\frac{1}{3}\) độ dài đoạn \(AM\)

Suy ra \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{AM = {v_1}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\\{MN = {v_1} + \frac{1}{3}{v_1}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\\{NB = {v_1} + \frac{1}{3}{v_1} + \frac{1}{3}{v_1}}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{AM = {v_1}\,\,\,}\\{MN = \frac{4}{3}{v_1}}\\{NB = \frac{5}{3}{v_1}\,\,}\end{array}} \right.\)

Mặt khác: \(AB = AM + MN + NB = {v_1} + \frac{4}{3}{v_1} + \frac{5}{3}{v_1} = 4{v_1} = 4AM \Leftrightarrow \overrightarrow {AB} = 4\overrightarrow {AM} \).

Từ đó, \(\left( {12; - 12;24} \right) = 4\left( {a + 7;b - 19;c + 15} \right) \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{4\left( {a + 7} \right) = 12\,\,\,\,\,\,}\\{4\left( {b - 19} \right) = - 1\,2}\\{4\left( {c + 15} \right) = 24\,\,\,\,}\end{array}} \right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = - 4}\\{b = 16\,}\\{c = - 9}\end{array}} \right. \Rightarrow a + b + c = 3\).