Trong không gian Oxyz, cho điểm A(40; −15; 15) và (P): 3x − y + 2z − 25 = 0. Gọi A'(a; b; c) là điểm đối xứng với A qua mặt phẳng (P). Tính a + b + c.

40/40

Trong không gian \(Oxyz\), cho điểm \(A\left( {40; - 15;15} \right)\) và \(\left( P \right):3x - y + 2z - 25 = 0\). Gọi \(A'\left( {a;b;c} \right)\) là điểm đối xứng với \(A\) qua mặt phẳng \(\left( P \right)\). Tính \(a + b + c\).

Đáp án: ____

Click vào chỗ trống để nhập đáp án. Nhấn Enter để xác nhận, Esc để hủy.

Giải thích

Gọi \(d\) là đường thẳng đi qua \(A\) và vuông góc với mặt phẳng \(\left( P \right)\).

Khi đó \[\frac{{x - 40}}{3} = \frac{{y + 15}}{{ - 1}} = \frac{{z - 15}}{2}\].

Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên \(\left( P \right)\) thì tọa độ H thỏa hệ phương trình

\[\left\{ \begin{array}{l}\frac{{x - 40}}{3} = \frac{{y + 15}}{{ - 1}} = \frac{{z - 15}}{2}\\3x - y + 2z - 25 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + 3y + 5 = 0\\2y + z + 15 = 0\\3x - y + 2z - 25 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 10\\y = - 5\\z = - 5\end{array} \right.\] hay \[H\left( {10\,;\,\, - 5\,;\,\, - 5} \right)\].

\[A'\] đối xứng với A qua (P) nên H là trung điểm của \[AA' \Rightarrow A'\left( { - 20\,;\,\,5\,;\,\, - 25} \right)\].

Suy ra \(a = - 20;b = 5;c = - 25\). Vậy \(a + b + c = - 40\).

Đáp án cần nhập là: −40.