Trong không gian Oxyz, cho điểm A(1; - 6;1)

41/235

Trong không gian \(Oxyz\), cho điểm \(A\left( {1; - 6;1} \right)\) và mặt phẳng \(\left( P \right):x + y + 7 = 0\). Gọi \(B\) là một điểm thay đổi trên trục \(Oz,C\) là một điểm thay đổi thuộc \(\left( P \right)\). Biết tam giác \(ABC\) có chu vi nhỏ nhất. Tọa độ điểm \(C\) là

\(\left( { - \frac{4}{9}; - \frac{{59}}{9};2} \right)\).

\(\left( { - \frac{7}{9}; - \frac{{56}}{9};1} \right)\).

\(\left( {\frac{2}{9}; - \frac{{65}}{9}; - 1} \right)\).

\(\left( {\frac{4}{9}; - \frac{{67}}{9}; - 2} \right)\).

Giải thích

Đáp án đúng là B

Phương pháp giải

Hai điểm \(A\) và \(B\) nằm cùng phía đối với mặt phẳng \(\left( P \right),C\) là điểm tùy ý thuộc mặt phẳng (\(P\)). Để \(AC + BC\) nhỏ nhất thì \(C\) phải là giao điểm của \(IB\) và \(\left( P \right)\), trong đó I là điểm đối xứng của A qua (P).

Lời giải

\(\vec k = \left( {0;0;1} \right),\overrightarrow {{n_P}} = \left( {1;1;0} \right)\). Ta có \(\vec k.\overrightarrow {{n_P}} = 0\) và \(O \notin \left( P \right)\) nên \(Oz//\left( P \right)\). Vì \(\left( {0 + 0 + 7} \right)\left( {1 - 6 + 7} \right) > 0\) nên \(A\) và \(O\) nằm cùng phía đối với \(\left( P \right)\), hay nói cách khác, \(A\) và \(Oz\) nằm cùng phía đối với \(\left( P \right)\).

Gọi I là điểm đối xứng của \(A\) qua \(\left( P \right) \Rightarrow I\left( { - 1; - 8;1} \right),H\) là hình chiếu vuông góc của \(A\) trên trục \(Oz \Rightarrow H\left( {0;0;1} \right)\)

Chu vi tam giác \(ABC\) là \(p = AB + BC + CA\).

Ta có \(AB \ge AH;BC + CA = BC + CI \ge BI \ge IH\)

Do đó \(p = AB + BC + CA \ge AH + IH\)

Giá trị nhỏ nhất của \(p\) là \(AH + IH\), đạt được khi \(B \equiv H\) và \(C\) là giao điểm của \(IH\) với (\(P\)).

Tọa độ giao điểm của \(IH\) với (P) là \(\left( { - \frac{7}{9}; - \frac{{56}}{9};1} \right)\).