Trong không gian Oxyz, cho điểm A(1; 3; 4), mặt phẳng (P): 3x + 3y + 5z + 16 = 0 và đường thẳng d: (x − 1)/2 = (y + 1)/−1 = (z + 2)/2. Gọi Δ là đường thẳng cắt d và (P) lần lượt tại M và N sa

29/40

Trong không gian \(Oxyz\), cho điểm \(A\left( {1;3;4} \right)\), mặt phẳng \(\left( P \right):3x + 3y + 5z + 16 = 0\) và đường thẳng \(d:\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y + 1}}{{ - 1}} = \frac{{z + 2}}{2}\). Gọi \({\rm{\Delta }}\) là đường thẳng cắt \(d\) và \(\left( P \right)\) lần lượt tại \(M\) và \(N\) sao cho \[\overrightarrow {AN} = 3\overrightarrow {AM} \]. Khi đó \(\Delta \) đi qua điểm nào dưới đây?

\(\left( {3;0; - 3} \right)\).

\(\left( {7; - 6;1} \right).\)

\(\left( { - 1;6;3} \right).\)

\(\left( { - 4;9;6} \right).\)

Giải thích

Vì \(M = {\rm{\Delta }} \cap d\) nên \(M \in d\), do đó \(M\left( {1 + 2t; - 1 - t; - 2 + 2t} \right)\).

\(\overrightarrow {AM} = \left( {2t; - 4 - t; - 6 + 2t} \right)\); \(3\overrightarrow {AM} = \left( {6t; - 12 - 3t; - 18 + 6t} \right)\).

Điểm \(N = {\rm{\Delta }} \cap \left( P \right)\); \(N = \left( {x;y;z} \right)\); \(\overrightarrow {AN} = \left( {x - 1;y - 3;z - 4} \right)\).

Vì \[\overrightarrow {AN} = 3\overrightarrow {AM} \]\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 1 = 6t\\y - 3 = - 12 - 3t\\z - 4 = - 18 + 6t\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 6t + 1\\y = - 9 - 3t\\z = - 14 + 6t\end{array} \right.\).

\(N \in \left( P \right)\) nên \(3\left( {6t + 1} \right) + 3\left( { - 9 - 3t} \right) + 5\left( { - 14 + 6t} \right) + 16 = 0\)\[ \Leftrightarrow t = 2\]

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 13\\y = - 15\\z = - 2\end{array} \right.\)\( \Rightarrow N\left( {13; - 15; - 2} \right)\);\(M\left( {5; - 3;2} \right)\)\( \Rightarrow \)\(\overrightarrow {MN} = \left( { - 8;12;4} \right)\).

\[\overrightarrow {AN} = 3\overrightarrow {AM} \] suy ra \(A,\,M,\,N\) thẳng hàng.

Đường thẳng \(\Delta \) đi qua \(A\) và nhận \(\frac{{ - \overrightarrow {MN} }}{4} = \left( {2; - 3; - 1} \right)\) là véc tơ chỉ phương có phương trình là \[\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y = 3 - 3t\\z = 4 - t\end{array} \right.\].

Dễ kiểm tra thấy điểm \(\left( {7; - 6;1} \right)\)thuộc đường thẳng \(\Delta \). Chọn B.