Trong không gian Oxyz, cho điểm A(1;2;-3) và mặt phẳng (P): x + 2y - z + 5 = 0. Đường thẳng Δ đi qua A, cắt trục Ox và song song với mặt phẳng (P). Biết rằng đường thẳng Δ có một vectơ chỉ ph

Đáp án: 10

Gọi \(M\) là giao điểm của \(\Delta \) và trục \(Ox\). Vì \(M \in Ox\) nên \(M\) có dạng \(M(m;0;0)\).

Vì \(\Delta \) đi qua \(A(1;2; - 3)\) và \(M(m;0;0)\) nên có một vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {AM}  = (m - 1; - 2;3)\).

Mặt phẳng \((P)\) có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_P}}  = (1;2; - 1)\).

Vì đường thẳng \(\Delta \) song song với mặt phẳng \((P)\) nên vectơ chỉ phương của \(\Delta \) vuông góc với vectơ pháp tuyến của \((P)\). Ta có \(\overrightarrow {AM}  \cdot \overrightarrow {{n_P}}  = 0\)

\( \Leftrightarrow (m - 1) \cdot 1 + ( - 2) \cdot 2 + 3 \cdot ( - 1) = 0\)

\( \Leftrightarrow m - 1 - 4 - 3 = 0\)

\( \Leftrightarrow m = 8\).

Với \(m = 8\), ta có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {AM}  = (7; - 2;3)\).

Theo đề bài, đường thẳng \(\Delta \) có một vectơ chỉ phương là \(\vec u = (a; - 2;b)\).

Suy ra \(a = 7\) và \(b = 3\).

Vậy giá trị \(a + b = 7 + 3 = 10\).