Trong không gian Oxyz, cho điểm A(1; 2; 3) và hai mặt phẳng (P): x + y + z + 1 = 0, (Q): x − y + z − 2 = 0. Gọi d là đường thẳng đi qua A và song song với cả hai mặt phẳng (P), (Q). Các mệnh

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng.                     b) Đúng.               c) Đúng.                d) Sai.

a) Đúng. Từ phương trình tổng quát của mặt phẳng (P), ta có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_P}}  = \left( {1;1;1} \right)\).

b) Đúng. Mặt phẳng (Q) có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_Q}}  = \left( {1; - 1;1} \right)\).

Đường thẳng d song song với hai mặt phẳng (P) và (Q) nên vectơ chỉ phương của d được tính bằng tích có hướng: \(\vec v = \left[ {\overrightarrow {{n_P}} ,\overrightarrow {{n_Q}} } \right] = \left( {1 \cdot 1 - 1\left( { - 1} \right);1 \cdot 1 - 1 \cdot 1;1\left( { - 1} \right) - 1 \cdot 1} \right) = \left( {2;0; - 2} \right)\).

Rút gọn vectơ này bằng cách chia cho 2, ta được \(\vec u = \left( {1;0; - 1} \right)\) là một vectơ chỉ phương hoàn toàn hợp lệ.

c) Đúng. Phương trình tham số của đường thẳng d đi qua A(1; 2; 3) với vectơ chỉ phương \(\vec u\) được viết dưới dạng hệ phương trình là: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1 + t}\\{y = 2}\\{z = 3 - t}\end{array}} \right.\).

Để kiểm tra xem điểm M(2; 2; 2) có nằm trên d hay không, ta thay tọa độ M vào hệ phương trình: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2 = 1 + t}\\{2 = 2}\\{2 = 3 - t}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{t = 1}\\{t = 1}\end{array}} \right.\).

Vì hệ có nghiệm duy nhất t = 1 nên điểm M thuộc d.

d) Sai. Vì tung độ của vectơ chỉ phương bằng 0 nên đường thẳng d không thể viết dưới dạng phương trình chính tắc (do mẫu số của phân thức không được phép bằng 0).